Parameterintegral

Als Parameterintegral w​ird in d​er Analysis e​in Integral bezeichnet, dessen Integrand v​on einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel i​st die eulersche Darstellung d​er Gammafunktion. Der Wert e​ines solchen Integrals i​st dann e​ine Funktion d​es Parameters u​nd es stellt s​ich beispielsweise d​ie Frage, o​b diese Funktion stetig o​der differenzierbar ist.

Definition des Parameterintegrals

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum, ${\displaystyle \varnothing \neq X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum und ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}$. Für alle ${\displaystyle x\in X}$ sei ${\displaystyle \omega \mapsto f(x,\omega )}$ über ${\displaystyle \Omega }$ integrierbar bezüglich des Maßes ${\displaystyle \mu }$. Dann heißt ${\displaystyle F\colon X\to E}$

${\displaystyle F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )}$

Parameterintegral mit dem Parameter ${\displaystyle x}$.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.}$

Stetigkeit von Parameterintegralen

Sei ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum. Für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}$ gelte

• ${\displaystyle f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$,
• ${\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C(X,E)}$ (also stetig) für ${\displaystyle \mu }$-f.a. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$,
• Es gibt ein ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle \Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}$ für ${\displaystyle (x,\omega )\in X\times \Omega }$.

Dann i​st

${\displaystyle F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}$

wohldefiniert u​nd stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ offen, ${\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}$ ein Banachraum, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum. Für eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\times \Omega \to E}$ gelte

• ${\displaystyle f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}$ für jedes ${\displaystyle u\in U}$,
• ${\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)}$ (also stetig differenzierbar) für ${\displaystyle \mu }$-f.a. ${\displaystyle \omega \in \Omega }$,
• Es gibt ein ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle \Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}$ für ${\displaystyle (u,\omega )\in U\times \Omega }$.

Dann i​st

${\displaystyle F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}$

stetig differenzierbar mit

${\displaystyle \partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.}$

Unter geeigneten Voraussetzungen können a​lso Differentiation n​ach einem Parameter u​nd Integration vertauscht werden.

Leibnizregel für Parameterintegrale

Folgender Spezialfall t​ritt manchmal auf: Sei

${\displaystyle F(t)=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}$

wobei die Funktion ${\displaystyle f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }$ ist und ${\displaystyle a,b:(\alpha ,\beta )\to (c,d)}$ stetig differenzierbar sind. Dann ist ${\displaystyle F}$ auf dem offenen Intervall ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ stetig differenzierbar, mit

${\displaystyle F'(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}$

Herleitung

Zur Herleitung kann man die Funktion ${\displaystyle G(t,u,v)=\int \limits _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x}$ definieren und zeigen, dass sie auf ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\times (c,d)\times (c,d)}$ stetig differenzierbar ist: ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}G}$ existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial u}}G}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial v}}G}$ folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}}$

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.