Sierpiński-Zahl
Eine Sierpiński-Zahl (benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.
Beispiele
- ist eine Sierpiński-Zahl.
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.[1]
Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge gibt, welche teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 78557).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn gerade ist, also wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 19:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 37:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 7: Teilbarkeit durch 73:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 8: Zusammenfassung:
- In den vergangenen sieben Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn gilt, also wenn mit ist.
- Zusammenfassend gilt also:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- Damit werden alle möglichen abgedeckt. Somit ist immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge liegt. Weil für alle ist, ist für alle immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war.
- Die folgenden Zahlen sind bekannte Sierpiński-Zahlen :
- Ist eine dieser Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.
Gegenbeispiel
Die Zahl ist keine Sierpiński-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1217, 2433, … Das sechste Glied der Folge, 1217, ist eine Primzahl. Das genügt zum Nachweis, dass 19 keine Sierpiński-Zahl ist. Ob noch weitere Primzahlen in dieser Folge auftreten oder nicht (das 10-te Glied ist die Primzahl 19457), ist unerheblich.
Primzahlen der Form nennt man Prothsche Primzahl.
Sierpiński-Problem
Das Sierpiński-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl? 1962 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.[1] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Das Internet-Projekt Seventeen or Bust beschäftigt sich mit diesem Problem.
Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes kleiner als 78557 eine Zahl gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 8. Juli 2019) bereits für alle bis auf 5 Ausnahmen erfolgt, diese sind (Primzahlen werden fett geschrieben):
Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl.
Das prime Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[4] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen der folgenden Liste schon in obigem Problem auftauchen; die übrigen drei Zahlen der vorhergehenden Liste sind keine Primzahlen: , und ) (Stand: 31. Dezember 2019):
- k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019
Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[4][5] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen (vom primen Sierpiński-Problem) noch zusätzlich die folgenden 12 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei zusammengesetzten Zahlen schon im ursprünglichen Sierpiński-Problem auftauchen) (Stand: 31. Dezember 2019):
- k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673, 238411
Riesel-Zahl
Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.
Beispiele
- ist eine Riesel-Zahl.
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.
Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge gibt, welche teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 509203).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn gerade ist, also wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 17:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 241:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 7: Zusammenfassung:
- In den vergangenen sechs Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn gilt, also wenn mit ist.
- Zusammenfassend gilt also:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- Damit werden alle möglichen abgedeckt. Somit ist immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge liegt. Weil für alle ist, ist für alle immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war.
- 1956 bewies Hans Riesel, dass es unendlich viele ganze Zahlen gibt, so dass nicht prim, also zusammengesetzt ist für alle positiven ganzen Zahlen .[6]
- Die folgenden Zahlen sind bekannte Riesel-Zahlen :
Gegenbeispiel
Die Zahl ist keine Riesel-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 45, 91, 183, 367
Die kleinste Riesel-Zahl
Riesel selbst fand 1956 mit 509.203 eine Riesel-Zahl. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 509.203 die kleinste Riesel-Zahl ist (dieses Problem nennt man Riesel-Problem). Um dies zu beweisen, muss man noch die folgenden 44 Zahlen kontrollieren, ob sie Riesel-Zahlen sind oder nicht[7]:
- 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557 und 494743
Es würde ausreichen, wenn man zu jeder der obigen Zahlen wenigstens ein einziges finden würde, sodass eine Primzahl ist. Dann würde diese Zahl k als Kandidat für die kleinste Riesel-Zahl ausscheiden.
Brier-Zahl
Durch Eric Brier wurde nach positiven ganzen Zahlen k gesucht, die gleichzeitig Sierpiński- und Riesel-Zahl sind, d. h.
- und
sind für alle n stets zusammengesetzt. Derartige Zahlen heißen Brier-Zahlen.
Die erste 1998 gefundene Brier-Zahl ist die 41-stellige
- k = 29364695660123543278115025405114452910889
Yves Gallot ermittelte 2000 eine 27-stellige Brier-Zahl
- k = 878503122374924101526292469
2007 fanden Michael Filaseta, Carrie Finch und Mark Kozek die damals kleinste bekannte 24-stellige Brier-Zahl
- k = 143665583045350793098657
Mittlerweile kennt man noch kleinere, aber immer noch mindestens 22-stellige Brier-Zahlen:
Duales Sierpiński-Problem
Bisher musste das bei immer eine positive ganze Zahl sein, also . Was passiert aber, wenn man die Hochzahl negativ werden lässt? Sei also mit . Dann erhält man . Nimmt man nur den Zähler dieser Bruchzahl, so erhält man die Zahl .
Eine duale Sierpiński-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl , für die für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt bzw. gab zwei Vermutungen, diese dualen Sierpiński-Zahlen betreffend:
- Vermutung 1: Die Menge dieser dualen Sierpiński-Zahlen ist ident zur Menge der Sierpiński-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Sierpiński-Problem.
- Vermutung 2: Die Zahl ist die kleinste duale Sierpiński-Zahl. Diese zweite Vermutung konnte schon bewiesen werden. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte aber auch die kleinste Sierpiński-Zahl sein (siehe Sierpiński-Problem).
Es gibt also kein , welches kleiner als ist, für welches niemals eine Primzahl ergibt. Dieser Beweis gelang wie schon beim noch laufenden Internet-Projekt Seventeen or Bust durch die Brute-Force-Methode, indem man für jedes so lange ein geeignetes sucht, bis man eines gefunden hat, für welches eine Primzahl ergibt. Dieses Internet-Projekt mit dem Namen Five or Bust[8] hat somit seinen Zweck erfüllt und aus einer Vermutung eine Gewissheit gemacht (der Name kommt von fünf verschiedenen , die damals noch zu keiner bekannten Primzahl geführt haben). Jedenfalls brachte auch dieser Beweis einige sehr große Primzahlen zu Tage. Die fünf , von denen man vor dem Projekt keine Primzahlen gekannt hat, lauteten:
- k=2131, 28433, 40291, 41693 und 75353
Es wurde mittlerweile zu jedem dieser eine passende Zahl gefunden, sodass höchstwahrscheinlich eine Primzahl ist. Genau genommen handelt es sich bei den so gefundenen Zahlen der Form nur um PRP-Zahlen (sogenannte probable primes), also Zahlen, die höchstwahrscheinlich, aber eben nicht hundertprozentig, Primzahlen sind. Dies hängt damit zusammen, dass man für Zahlen der Form noch keine geeigneten Algorithmen kennt, die explizit garantieren könnten, dass es sich um Primzahlen handelt. Trotzdem ist man sich sehr sicher, dass es sich um Primzahlen handelt. In der Folge wird also, um genau zu sein, nicht von Primzahlen, sondern von PRP-Zahlen die Rede sein.
Bei erhält man erst bei eine PRP-Zahl[9], das heißt, dass die kleinste PRP-Zahl ist, die in der Folge vorkommt. Weitere hohe PRP-Zahlen erhält man für und , nämlich bzw. (somit sind und PRP-Zahlen[9]). Gleichzeitig erhält man aber für diese drei sehr schnell Primzahlen der Form , nämlich , und . Für das eigentliche Sierpiński-Problem machen diese drei also keinerlei Schwierigkeiten. Umgekehrt kennt man zum Beispiel für noch kein geeignetes , sodass eine Primzahl ergibt (es ist eines der fünf übrig gebliebenen Problemfälle beim Projekt Seventeen or Bust). Beim dualen Sierpiński-Problem macht dieses aber kein Problem, denn schon für erhält man die Primzahl .
In einer Tabelle zusammengefasst erkennt man die jeweils sechs größten Primzahlen beim Sierpiński-Problem und beim dualen Sierpiński-Problem bis zu :
Sierpiński-Problem | duales Sierpiński-Problem | |||
---|---|---|---|---|
k | n | Stellen von k·2n+1 | n | Stellen von 2n+k |
2.131 | 44 | 17 | 4583176 | 1379674 |
8.543 | 5793 | 1748 | 1191375 | 358640 |
10.223 | 31172165 | 9383761 | 19 | 6 |
21.181 | unbekannt, sehr groß | 28 | 9 | |
22.699 | unbekannt, sehr groß | 26 | 8 | |
24.737 | unbekannt, sehr groß | 17 | 6 | |
28.433 | 7830457 | 2357207 | 2249255 | 677094 |
40.291 | 8 | 8 | 9092392 | 2737083 |
41.693 | 33 | 15 | 5146295 | 1549190 |
55.459 | unbekannt, sehr groß | 14 | 5 | |
67.607 | unbekannt, sehr groß | 46549 | 14013 | |
75.353 | 1 | 6 | 1518191 | 457022 |
Die kleinsten , für die erstmals eine Primzahl ergibt (wobei ungerade ist) verrät die folgende Liste:
- 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 7, 4, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 3, 3, 2, 1, 1, … (Folge A067760 in OEIS)
Wie man erkennen kann, sind die Hochzahlen , die zu einem gegebenen erstmals eine auf eine Primzahl führen, meistens sehr klein. In den meisten Fällen ist tatsächlich . Es existieren lediglich einige wenige Fälle, bei denen man zu einem gegebenen ein sehr hohes benötigt, um erstmals eine Primzahl zu finden. Die folgende Liste gibt alle 28 existierenden bis inklusive 78557 an, die ein dementsprechend hohes benötigen, damit eine Primzahl ergibt (oder, wie im Fall , keine Primzahl existiert) und für welches auch gilt. (eine umgekehrte Argumentation lautet: zu folgenden ungeraden ist die Zahl für alle immer zusammengesetzt):
773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 28433, 35461, 37967, 39079, 40291, 41693, 48527, 60443, 60451, 60947, 64133, 75353, 78557 (Folge A033919 in OEIS)
Gerades Sierpiński-Problem
Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem, bei dem eine natürliche, ungerade Zahl sein muss, ist beim geraden Sierpiński-Problem das eine natürliche gerade Zahl. Wieder stellt sich die Frage, ob es bis kein gerades gibt, welches eine Sierpiński-Zahl ist[10].
Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem kann man diesmal gleich von vornherein viele gerade ausschließen. Wenn man zum Beispiel wegen der Untersuchung der vom Sierpiński-Problem weiß, dass eine Primzahl ist, kann man daraus sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist und man kann somit sofort aus der Liste der potentiellen geraden Sierpiński-Zahlen streichen. Ebenso ist und eine Primzahl und somit scheidet auch und sofort als gerader Sierpiński-Kandidat aus, ohne dass man eine besondere Rechnung angestellt haben muss.
Es gibt aber auch gerade , bei denen man mit der sonst üblichen Brute-Force-Methode arbeiten muss. Zum Beispiel stößt man bei der Lösung des ursprünglichen Sierpiński-Problems auf die Primzahl . In diesem Fall kann man aber leider keine 2 herausheben, sodass man über eine Aussage treffen könnte. Somit muss man für dieses mit roher Rechengewalt eine Primzahl finden. Hat man aber eine gefunden, in diesem Fall , so kann man wieder weitere ausschließen. In diesem Fall und .
Momentan gibt es für das gerade Sierpiński-Problem 4 Zahlen, für die man noch nicht ausschließen kann, dass sie Sierpiński-Zahlen sind:
- 42362, 45398, 49474, 65536
Drei dieser vier Zahlen sind eng verwandt mit den 5 Problemfällen vom ursprünglichen Sierpiński-Problem (21181, 22699, 24737, 55459 und 67607). Wenn man zum Beispiel für irgendwann einmal eine Primzahl der Form finden wird (mit einem sehr hohen ), kann man sofort daraus schließen, dass ebenfalls eine Primzahl ist und schon hätte das gerade Sierpiński-Problem nur noch 3 Problemfälle. Analog kann man aus einer noch zu findenden Primzahl der Form sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist (nämlich die gleiche). Weiters wäre die noch unentdeckte Primzahl der Form eine Lösung, die aus der Liste der obigen 4 Zahlen nur noch einen einzigen Problemfall übrig lassen würden: .
Es stellt sich die Frage, ob jemals eine Primzahl werden kann. Es ist und somit hätte diese gesuchte Primzahl die Form mit . Primzahlen der Form sind aber Fermatsche Primzahlen, also nur prim, wenn eine Zweierpotenz ist und somit die Form haben. Von diesen sind momentan nur fünf bekannt, nämlich , , , und . Pierre de Fermat vermutete zwar, dass es unendlich viele solche Fermatschen Primzahlen gibt, mittlerweile wird aber vermutet, dass es nur diese fünf Primzahlen von dieser Form gibt. Wenn es wirklich noch weitere Fermatsche Primzahlen gibt, so muss diese Zahl mindestens sein und somit mindestens 2.585.827.973 Stellen haben (diese Fermat-Zahl ist tatsächlich die kleinste Zahl der Form , die eine Primzahl sein könnte, von der man es aber noch nicht weiß). Die größte bekannte Primzahl hat im Moment aber lediglich 24.862.048 Stellen (eine Mersenne-Primzahl, Stand: 26. Juli 2020), welches gerade einmal 0,96 % der Stellen sind, die besitzt. Man ist also noch meilenweit von der Primzahlbestimmung von so riesigen Zahlen entfernt. Für das gerade Sierpiński-Problem bedeutet das aber, dass man für die Zahl in absehbarer Zeit keine Primzahl finden wird. Möglicherweise gibt es auch tatsächlich keine Primzahl für dieses . Dies würde aber bedeuten, dass die erste gerade (und insgesamt auch kleinste) Sierpiński-Zahl wäre.
Duales Riesel-Problem
Bisher musste das bei immer eine positive ganze Zahl sein, also . Was passiert aber, wenn man wie schon bei den Sierpiński-Zahlen die Hochzahl negativ werden lässt? Sei also mit . Dann erhält man . Nimmt man nur den Betrag des Zählers dieser Bruchzahl, so erhält man die Zahl .
Eine duale Riesel-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl , für die für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt zwei Vermutungen, diese dualen Riesel-Zahlen betreffend:
- Vermutung 1: Die Menge dieser dualen Riesel-Zahlen ist ident zur Menge der Riesel-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Riesel-Problem.
- Vermutung 2: Die Zahl ist die kleinste duale Riesel-Zahl. Diese zweite Vermutung resultiert allerdings aus der obigen Vermutung 1. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte aber auch die kleinste Riesel-Zahl sein (siehe Riesel-Problem).
Die Bedingung verrät, dass man das Problem auf zweierlei Arten angehen kann. Man stößt bei der Suche nach Primzahlen der Form auch auf negative Zahlen, wenn ist. Dieser Sachverhalt kann erlaubt sein, muss aber nicht erlaubt sein. Deswegen spaltet sich das duale Riesel-Problem in zwei Fälle auf.
Fall 1: 2n – k < 0 ist erlaubt
Dann stößt man bei der Suche nach Primzahlen der Form auch auf negative Zahlen, deren Beträge Primzahlen sind. In diesem Fall ist dann .
Unter diesen Voraussetzungen gibt es noch viele , für welche man noch kein geeignetes kennt, sodass eine Primzahl ergibt. Die kleinste davon ist .
Ungerade natürliche Zahlen mit , für welche immer zusammengesetzte Zahlen ergeben (also niemals Primzahlen sind), nennt man de Polignac-Zahlen (eine dazu äquivalente Definition lautet: eine de Polignac-Zahl ist eine ungerade Zahl, die nicht die Form mit hat[11]). Die ersten paar solcher Zahlen verrät die folgende Liste:
Fall 2: 2n – k < 0 ist nicht erlaubt
Dann darf man bei der Suche nach Primzahlen der Form nicht auf negative Zahlen stoßen. In diesem Fall ist dann .
Die kleinsten , für die erstmals eine Primzahl ergibt, verrät die folgende Liste (aufsteigend für ungerade k=1, 3, 5, 7, 9,…):
- 2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, … (Folge A096502 in OEIS)
Die ersten , für welche man noch kein geeignetes kennt, sodass eine Primzahl ergibt, lauten:
- 1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, 107857, 109649, 118567, 128263, 132217, 134557, 134579, 138847, 144337, 148091, 149797, 150179, 150641, 158369, 170531, 175709, 183313, 191759, …
Gerades Riesel-Problem
Beim geraden Riesel-Problem muss eine gerade natürliche Zahl sein. Es stellt sich die Frage, ob es ein gerades gibt, welches eine Riesel-Zahl ist (für das also alle Zahlen der Form immer zusammengesetzte Zahlen, also niemals Primzahlen, sind)[12].
Wie schon beim geraden Sierpiński-Problem kann man gleich von vornherein viele gerade ausschließen. Zum Beispiel weiß man wegen der Untersuchung der vom Riesel-Problem, dass eine Primzahl ist und somit als Riesel-Zahl nicht in Frage kommt. Aus dieser Tatsache kann man aber sofort folgern, dass auch und und und so fort, Primzahlen sind, die somit für das gerade Riesel-Problem als potentielle gerade Riesel-Zahlen ausfallen. Wegen dieses einen erfolgreich ausgeschlossenen kann man also sofort, ohne längere Rechnung, elf Werte für , nämlich k=238, 476, 952, 1904, 3808, 7616, 15232, 30464, 60928, 121856 und 243712 ausschließen. Erst bei kann man keine 2 mehr herausheben, da man sonst erhalten würde, wobei aber 0 als Hochzahl weder beim Sierpiński- noch beim Riesel-Problem erlaubt ist. Der Wert kann erst durch die Primzahl als gerade Riesel-Zahl ausgeschlossen werden. Diesmal wieder durch die Brute-Force-Methode, also durch Ausnützung der rohen Rechengewalt eines Computers, der alle möglichen Werte so lange durchprobiert, bis er eine Primzahl gefunden hat. Auch aus ungeraden , die zu sehr niedrigen Primzahlen geführt haben, wie zum Beispiel kann man keine weiteren geraden herausrechnen. Somit muss man auch für Vielfache von 69, also zuallererst für eine geeignete Primzahl finden. Ist diese gefunden, in diesem Fall , so kann man wieder höhere ausschließen. In diesem Fall und . Dann ist man wieder bei angelangt und muss für wieder eine neue Berechnung mit der Brute-Force-Methode beginnen.
In der Praxis sind aber die Computer heutzutage so schnell, dass man sich obige Überlegungen ersparen kann. Binnen weniger Stunden ist es möglich, mit einem geeigneten Mathematik-Programm alle als potentielle gerade Riesel-Kandidaten auszuschließen, die eine Hochzahl zwischen und haben. Der untersten Tabelle kann man entnehmen, dass damit schon 254233 wegfallen, also keine geraden Riesel-Zahlen sein können. Erst ab Hochzahlen benötigt man, je nach Rechenleistung, ein paar Tage bis Jahre.
Der unteren Tabelle kann man entnehmen, dass mit höheren Hochzahlen schon die meisten ausgeschlossen werden konnten. Insgesamt bleiben 38 verschiedene übrig, für die noch kein gefunden werden konnte, sodass eine Primzahl ist. 36 dieser 38 Zahlen sind die folgenden (Stand: 2. Mai 2021):
- 47338, 63718, 76946, 93326, 94676, 127436, 134234, 149398, 153892, 162082, 186652, 187678, 189352, 194278, 214694, 243778, 254872, 258014, 268468, 286094, 298796, 307784, 323338, 324164, 373304, 375356, 378704, 388556, 412462, 429388, 430886, 452306, 468686, 487556, 491122, 500054
Für diese wird man erst dann geeignete finden, wenn man für das ursprüngliche Riesel-Problem für gewisse im Moment noch problematische geeignete gefunden hat. Zum Beispiel kennt man für noch kein , sodass eine Primzahl ergibt. Deswegen ist auch in der Liste der noch zu erledigenden im Abschnitt Riesel-Zahl enthalten. Hat man aber irgendwann einmal ein geeignetes gefunden, für welches prim ist, dann wird dieses sehr groß sein. Dann ist aber auch eine Primzahl (nämlich dieselbe) und man kann aus der obigen Liste sofort, ohne eine besondere Rechnung angestellt zu haben, eliminieren. Ebenso kann man mit derselben Argumentation auch sofort die Werte k=94676, 189352 und 378704 eliminieren. Insgesamt wären sofort 4 Werte aus obiger Liste zu entfernen, wenn man irgendwann für eine geeignete Primzahl findet. Ebenso kann man für alle oben genannten 39 Werte Primzahlen finden. Man muss nur beim ursprünglichen Riesel-Problem die problematischen eliminieren, also geeignete Primzahlen der Form finden.
Übrig bleiben nur noch 2 Werte für , die man separat untersuchen muss. Diese lauten (Stand: 15. April 2021):[13]
- 351134, 478214
Für diese sind noch keine Primzahlen der Form bekannt. Wenn man zum Beispiel betrachtet, kann man feststellen, dass man eine Primzahl der Form benötigt. Beim ursprünglichen Riesel-Problem macht auch tatsächlich kein Problem, zumal eine Primzahl ergibt. Nur leider kann man bei dieser Primzahl nicht herausheben, denn dann würde man erhalten. Für das Riesel-Problem ist eine Hochzahl 0 aber nicht erlaubt. Somit muss man eine größere Primzahl für suchen, damit man auch für eine geeignete findet. Und so eine größere Primzahl ist eben im Moment noch nicht bekannt, obwohl man schon bis gesucht hat.[14] Analog verhält es sich mit dem anderen Wert . In diesem Fall ist die momentan einzige bekannte Primzahl, wobei aber nicht erlaubt ist. In diesem Fall hat man ebenfalls schon bis ergebnislos gesucht.[14]
Das gerade Riesel-Problem ist also noch längst nicht gelöst. Es könnte durchaus sein, dass man ein gerades finden wird, für welches niemals eine Primzahl ist. Dann hätte man eine gerade Riesel-Zahl gefunden, die kleiner als 509203 ist. Es wird aber davon ausgegangen, dass es keine solche Zahl gibt.
Wie schnell findet man eine Primzahl für ein gegebenes k
Für die meisten findet man sehr schnell geeignete , sodass bzw. eine Primzahl ergibt. Um zu erkennen, wie schnell man eine Zahl zu einem gegebenen findet, sodass man erstmals eine Primzahl der jeweiligen Form erhält, definiert man als die Anzahl der , für welche der Exponent im Intervall liegt. Die folgende Tabelle zeigt, wie schnell man die ausschließen kann. In der Tabelle werden folgende Variablen verwendet:
… kleinste Hochzahl, bei der man erstmals eine Primzahl der gegebenen Form erhält
… maximale Anzahl der Stellen von
… Anzahl der , für welche man im Intervall erstmals eine Primzahl findet
Sierpiński- Problem[4] |
primes Sierpiński- Problem[4] |
erweitertes Sierpiński- Problem[4] |
gerades Sierpiński- Problem[15] |
duales Sierpiński- Problem |
Riesel- Problem[7] |
gerades Riesel- Problem |
duales Riesel- Problem 2n<k |
duales Riesel- Problem 2n>k | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
m | n | x | fm | fm’ | fm’’ | fm | fm | fm | fm | fm | fm |
0 | 1 | 1 | 7238 | 1667 | 13491 | 7205 | 7707 | 39867 | 39980 | 42226 | 0 |
1 | 2 ≤ n ≤ 3 | 1 | 10194 | 2804 | 19709 | 10166 | 11622 | 59460 | 59474 | 66788 | 3 |
2 | 4 ≤ n ≤ 7 | 3 | 9582 | 3635 | 19803 | 9703 | 11091 | 62311 | 62112 | 71954 | 42 |
3 | 8 ≤ n ≤ 15 | 5 | 6272 | 3242 | 13909 | 6204 | 6161 | 45177 | 44869 | 48639 | 6220 |
4 | 16 ≤ n ≤ 31 | 10 | 3045 | 2140 | 7193 | 3052 | 1764 | 24478 | 24477 | 17286 | 199858 |
5 | 32 ≤ n ≤ 63 | 19 | 1445 | 1145 | 3197 | 1437 | 463 | 11668 | 11997 | 4031 | 33537 |
6 | 64 ≤ n ≤ 127 | 39 | 685 | 605 | 1451 | 629 | 202 | 5360 | 5459 | 1558 | 8166 |
7 | 128 ≤ n ≤ 255 | 77 | 331 | 322 | 656 | 351 | 92 | 2728 | 2671 | 785 | 3205 |
8 | 256 ≤ n ≤ 511 | 154 | 195 | 159 | 364 | 227 | 57 | 1337 | 1277 | 447 | 1449 |
9 | 512 ≤ n ≤ 1023 | 308 | 114 | 106 | 162 | 122 | 26 | 785 | 830 | 247 | 735 |
10 | 1024 ≤ n ≤ 2047 | 617 | 47 | 59 | 99 | 55 | 28 | 467 | 488 | 181 | 465 |
11 | 2048 ≤ n ≤ 4095 | 1233 | 34 | 45 | 67 | 38 | 18 | 289 | 275 | 131 | 278 |
12 | 4096 ≤ n ≤ 8191 | 2466 | 26 | 23 | 42 | 30 | 11 | 191 | 184 | 72 | 169 |
13 | 8192 ≤ n ≤ 16383 | 4932 | 11 | 17 | 30 | 7 | 4 | 125 | 140 | 45 | 108 |
14 | 16384 ≤ n ≤ 32767 | 9864 | 18 | 12 | 23 | 10 | 8 | 87 | 91 | 43 | 83 |
15 | 32768 ≤ n ≤ 65535 | 19729 | 12 | 5 | 14 | 18 | 6 | 62 | 59 | 31 | 56 |
16 | 65536 ≤ n ≤ 131071 | 39457 | 5 | 12 | 9 | 4 | 5 | 38 | 36 | ≤137 | ≤227 |
17 | 131072 ≤ n ≤ 262143 | 78913 | 5 | 5 | 3 | 1 | 3 | 35 | 45 | ≤137 | ≤227 |
18 | 262144 ≤ n ≤ 524287 | 157827 | 2 | 5 | 8 | 1 | 2 | 25 | 27 | ≤137 | ≤227 |
19 | 524288 ≤ n ≤ 1048575 | 315653 | 3 | 6 | 6 | 0 | 2 | 22 | 29 | ≤137 | ≤227 |
20 | 1048576 ≤ n ≤ 2097151 | 631306 | 2 | 3 | 3 | 0 | 2 | 18 | 9 | ≤137 | ≤227 |
21 | 2097152 ≤ n ≤ 4194303 | 1262612 | 1 | 1 | 5 | 4 | 1 | 13 | 14 | ≤137 | ≤227 |
22 | 4194304 ≤ n ≤ 8388607 | 2525223 | 3 | 2 | 1 | 5 | 2 | 8 | 5 | ≤137 | ≤227 |
23 | 8388608 ≤ n ≤ 16777215 | 5050445 | 2 | 1 | 2≤fm’’≤11 | 3 | 1 | 6≤fm≤50 | 15≤fm≤53 | ≤137 | ≤227 |
24 | 16777216 ≤ n ≤ 33554431 | 10100891 | 1≤fm≤6 | 1≤fm’≤8 | ≤9 | 2≤fm≤6 | 0 | ≤44 | ≤38 | ≤137 | ≤227 |
>24 | 33554432 ≤ n | >10100891 | ≤5 | ≤7 | ≤9 | ≤4 | 0 | ≤44 | ≤38 | ≤137 | ≤227 |
Summe: | 39278 | 16029 | 80256 | 39278 | 39278 | 254601 | 254601 | 254601 | 254601 |
Sierpiński-Zahlen zur Basis b
Eine Sierpiński-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl , sodass für alle eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.
Für erhält man die klassischen Sierpiński-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.
Allerdings ist die Situation nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Sierpiński-Zahlen. Denn wenn man zum Beispiel wählt, kann man recht schnell erkennen, dass jedes ungerade eine Sierpiński-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen +1 wird sie gerade). Um diese trivialen Fälle für potentiell interessante Sierpiński-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit noch gewisse Vorkehrungen treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale als Sierpiński-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.
Bedingung
Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Sierpiński-Zahlen zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl alle Zahlen der Form teilt, ist die folgende:
Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von und gleich sein.
Der Beweis[16] funktioniert direkt.
- Zuerst wird gezeigt, dass wenn eine Primzahl jedes für alle teilt, gelten muss:
- teilt und somit ist .
- Angenommen, eine Primzahl teilt für alle . Dann teilt auch und . Wenn aber sowohl als auch teilt, dann teilt auch die Differenz dieser beider Terme, nämlich . Somit muss auch oder teilen. Da schon teilt, kann nicht gleichzeitig teilen, also ist ein Teiler von . Weil somit also ein Teiler von und sein muss, teilt auch den . Also ist .
- Umgekehrt wird nun gezeigt, dass wenn ein Teiler von ist, daraus gefolgert werden kann, dass auch ein Teiler von für alle sein muss.
- Sei also ein Teiler von . Dann kann man mit den Rechenregeln der Kongruenz zeigen, dass gilt: und und somit gilt:
- Somit ist ein Teiler von .
Insgesamt wurde also gezeigt, dass die Zahlen für alle genau dann teilt, wenn ein Teiler von ist. Der Beweis ist vollendet.
Tabelle der Sierpiński-Zahlen zur Basis b
Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl alle Zahlen der Form mit teilt und somit schon eine gesuchte Sierpiński-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung gefordert werden.
Nun kann man natürlich die Basis beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber „nur“ Basen bis . Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 6. Februar 2022) für Basen bis :[17][18]
b | vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k |
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt, die kleiner als die vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind; in Klammern sind ausgewählte Problemfälle, die Vielfache von anderen Problemfällen sind |
größte so gefundene Primzahl |
---|---|---|---|
2 | 78557 | 21181, 22699, 24737, 55459, 65536, 67607 (insgesamt 6 Problemfälle) |
10223·231172165+1 |
3 | 125.050.976.086 | 6363484, 8911036, 12663902, 14138648, 14922034, 18302632, 21497746, 23896396, 24019448, 24677704, 33224138, 33381178, 35821276, 37063498, 39431872, 46891088, 47628292, 54503602, 56882284, 60581468,… (diese 20 und noch 758241 weitere, also insgesamt 758261 Problemfälle) |
125030472038·3945719+1 |
4 | 66741 | 18534, 21181, 22699, 49474, 55459, 64494, 65536 (insgesamt 7 Problemfälle) |
20446·415586082+1 |
5 | 159986 | 6436, 7528, 10918, 26798, 29914, 31712, 36412, 41738, 44348, 44738, 45748, 51208, 58642, 60394, 62698, 64258, 67612, 67748, 71492, 74632, 76724, 83936, 84284, 90056, 92906, 93484, 105464, 126134, 139196, 152588 (insgesamt 30 Problemfälle) |
118568·53112069+1 |
6 | 174308 | 1296, 13215, 14505, 50252, 76441, 87800, 97131, 112783, 127688, 166753, 168610 (insgesamt 11 Problemfälle) |
124125·62018254+1 |
7 | 1.112.646.039.348 | 987144, 1613796, 1911142, 2052426, 2471044, 3778846, 4023946, 4300896, 4369704, 4455408, 4723986, 4783794, 4810884, 6551056, 7115518, 7248984, 8186656, 8566504, 9230674, 9284172, 9566736,… (diese 21 und noch 19896 weitere bis k ≤ 1.000.000.000, also bis dahin insgesamt 19917 Problemfälle) |
1952376·7293352+1 |
8 | 1 | keine Problemfälle mehr | keine |
9 | 2344 | 2036 | 1846·965376+1 |
10 | 9175 | 100, 7666 | 5028·1083982+1 |
11 | 1490 | keine Problemfälle mehr | 958·11300544+1 |
12 | 521 | 12 | 404·12714558+1 |
13 | 132 | keine Problemfälle mehr | 48·136267+1 |
14 | 4 | keine Problemfälle mehr | 1·142+1 |
15 | 91.218.919.470.156 | 215432, 424074, 685812, 1936420, 2831648, 3100818, 3789018, 5074424, 5095268, 5311880, 5349258, 5382720, 5391260, 5437658, 5624046, 5624350, 5923260, 6022606, 6038592, 6079288, 6113172, 6201428, 6341914, 6438174, 6492284, 6729940, 6741008, 7370892, 7567724, 7759144, 7858272, 7976572, 8029172, 8340272, 8347462, 8371008, 8410850, 8446312, 8495324, 8592272, 8718584, 9051940, 9174358, 9189710, 9307436, 9352744, 9562550, 9564418, 9720238, 10033124,… (diese 50 und noch 10312 weitere bis k ≤ 1.000.000.000, also bis dahin 10362 Problemfälle) |
3859132·15195563+1 |
16 | 2500 | keine Problemfälle mehr | 2158·1610905+1 |
17 | 278 | 244 | 262·17186768+1 |
18 | 398 | 18 | 122·18292318+1 |
19 | 765174 | 1446, 2526, 2716, 3714, 4506, 4614, 6796, 10776, 14556, 15394, 15396, 16246, 17596, 19014, 19906, 20326, 20364, 21696, 24754, 25474, 29746, 29896, 29956, 30196, 36534, 38356, 39126, 39276, 42934, 43986, 44106, 45216, 45846, 46174, 50124, 53014, 55516, 57544, 59214, 61536,… (diese 40 und noch 485 weitere, also insgesamt 525 Problemfälle) |
256134·19199223+1 |
20 | 8 | keine Problemfälle mehr | 6·2015+1 |
21 | 1002 | keine Problemfälle mehr | 118·2119849+1 |
22 | 6694 | 22, 5128 | 1611·22738988+1 |
23 | 182 | keine Problemfälle mehr | 68·23365239+1 |
24 | 30651 | 656, 1099, 1851, 1864, 2164, 2351, 2586, 3404, 3526, 3609, 4606, 4894, 5129, 5316, 5324, 5386, 5889, 5974, 7276, 7746, 7844, 8054, 8091, 8161, 9279, 9304, 9701, 9721, 10026, 10156, 10531, 11346, 12969, 12991, 13716, 15921, 17334, 17819, 17876, 18006, 18204, 18911, 19031, 19094, 20219, 20731, 21459, 22289, 22356, 22479, 23844, 23874, 24784, 25964, 26279, 27344, 29091, 29349, 29464, 29566, 29601 (insgesamt 61 Problemfälle) |
13984·24397259+1 |
25 | 262638 | 222, 6436, 7528, 10918, 12864, 13548, 15588, 18576, 29914, 36412, 45330, 45748, 51208, 57240, 58434, 58642, 60394, 62698, 64258, 65610, 66678, 67612, 74632, 75666, 76896, 81186, 82962, 86334, 90240, 91038, 93378, 93484, 94212, 101958, 107472, 108720, 110304, 114516, 114726, 124164, 133990, 134172, 157548, 158560, 162756, 165270, 165504, 166620, 169324, 176916, 177022, 178972, 183028, 184414, 184456, 195016, 195144, 196236, 198840, 199174, 201382, 205906, 206982, 207544, 208690, 211860, 216282, 217140, 221304, 221740, 223690, 226992, 228982, 230998, 231328, 231390, 231906, 243108, 244438, 245010, 258942 (insgesamt 81 Problemfälle) |
138514·251385961+1 |
26 | 221 | 65, 155 | 32·26318071+1 |
27 | 8 | keine Problemfälle mehr | 2·272+1 |
28 | 4554 | 871, 4552 | 3394·28427262+1 |
29 | 4 | keine Problemfälle mehr | 2·291+1 |
30 | 867 | 278, 588 | 699·3011837+1 |
Wie man erkennen kann, sind für gewisse Basen alle Problemfälle gelöst. Das bedeutet, dass die oben genannte Sierpiński-Zahl tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form für alle zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen angegeben:[17][18]
b | bewiesene kleinste Sierpiński-Zahl k |
vermutete kleinste Sierpiński-Zahl k |
(kleinste) Teiler von |
---|---|---|---|
2 | 78557 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 19, 37 oder 73 | |
3 | 125.050.976.086 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757 | |
4 | 66741 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17 oder 241 | |
5 | 159986 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601 | |
6 | 174308 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97 | |
7 | 1.112.646.039.348 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201 | |
8 | 1 | ||
9 | 2344 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13 oder 73 | |
10 | 9175 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37 | |
11 | 1490 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37 | |
12 | 521 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 29 | |
13 | 132 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17 | |
14 | 4 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5 | |
15 | 91.218.919.470.156 | hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877 | |
16 | 2500 | ||
17 | 278 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29 | |
18 | 398 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19 | |
19 | 765174 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 127 oder 769 | |
20 | 8 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7 | |
21 | 1002 | hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17 | |
22 | 6694 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97 | |
23 | 182 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53 | |
24 | 30651 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 73 oder 79 | |
25 | 262638 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31 oder 601 | |
26 | 221 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37 | |
27 | 8 | ||
28 | 4554 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 29 oder 157 | |
29 | 4 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5 | |
30 | 867 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 19 oder 31 |
Stellvertretend für alle Sierpiński-Zahlen zur Basis sei hier noch der umfangreiche und ausführliche Beweis angeführt, dass eine Sierpiński-Zahl zur Basis ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.
Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge gibt, welche teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 125.050.976.086).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 17:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 19:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 37:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 7: Teilbarkeit durch 41:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 8: Teilbarkeit durch 193:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 9: Teilbarkeit durch 757:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Dreierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 10: Zusammenfassung:
- In den vergangenen neun Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn gilt, also wenn mit ist.
- Zusammenfassend gilt also:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- Damit werden alle möglichen abgedeckt. Somit ist immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge liegt. Weil für alle ist, ist für alle immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war.
Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Sierpiński-Zahlen zur Basis :
- 78557, 125050976086, 66741, 159986, 174308, 1112646039348, 1, 2344, 9175, 1490, 521, 132, 4, 91218919470156, 2500, 278, 398, 765174, 8, 1002, 6694, 182, 30651, 262638, 221, 8, 4554, 4, 867, 6360528, 1, 1854, 6, 214018, 1886, 2604, 14, 166134, 826477, 8, 13372, 2256, 4, 53474, 14992, 8, 1219, 2944, 16,… (Folge A123159 in OEIS)
Riesel-Zahlen zur Basis b
Eine Riesel-Zahl zur Basis b ist eine natürliche Zahl , sodass für alle eine zusammengesetzte Zahl ergibt. Es darf also niemals eine Primzahl herauskommen.
Für erhält man die klassischen Riesel-Zahlen, die weiter oben vorgestellt wurden.
Wie schon bei den Sierpiński-Zahlen zur Basis b ist auch die Situation bei Riesel-Zahlen zur Basis b nicht mehr ganz so einfach wie bei den klassischen Riesel-Zahlen. Denn wenn man wie vorher zum Beispiel wählt, kann man erkennen, dass jedes ungerade eine Riesel-Zahl zur Basis 3 wäre, weil jede Zahl der Form gerade und somit immer durch 2 teilbar ist und folglich niemals eine Primzahl ergibt (jede Potenz von 3 ist wieder ungerade, multipliziert mit einer ungeraden Zahl bleibt sie ungerade, und wegen −1 wird sie gerade). Um diese trivialen Fälle für potentiell interessantere Riesel-Zahlen zur Basis b auszuschließen, muss man somit wieder eine Vorkehrung treffen, damit nur wirklich interessante, nichttriviale als Riesel-Zahlen zur Basis b in Frage kommen.
Bedingung
Die zusätzliche Bedingung für nichttriviale Riesel-Zahlen zur Basis b, sodass nicht eine einzelne Primzahl alle Zahlen der Form teilt, ist die folgende:
Es muss also der größte gemeinsamer Teiler von und gleich sein.
Der Beweis funktioniert analog zum Beweis der Bedingung für Sierpiński-Zahlen zur Basis b direkt.
- Zuerst wird gezeigt, dass wenn eine Primzahl jedes für alle teilt, gelten muss:
- teilt und somit ist .
- Angenommen, eine Primzahl teilt für alle . Dann teilt auch und . Wenn aber sowohl als auch teilt, dann teilt auch die Differenz dieser beider Terme, nämlich . Somit muss auch oder teilen. Da schon teilt, kann nicht gleichzeitig teilen, also ist ein Teiler von . Weil somit also ein Teiler von und sein muss, teilt auch den . Also ist .
- Umgekehrt wird nun gezeigt, dass wenn ein Teiler von ist, daraus gefolgert werden kann, dass auch ein Teiler von für alle sein muss.
- Sei also ein Teiler von . Dann kann man mit den Rechenregeln der Kongruenz zeigen, dass gilt: und und somit gilt:
- Somit ist ein Teiler von .
Insgesamt wurde also gezeigt, dass die Zahlen für alle genau dann teilt, wenn ein Teiler von ist. Der Beweis ist vollendet.
Tabelle der Riesel-Zahlen zur Basis b
Um den trivialen Fall auszuschließen, bei dem lediglich eine einzige (Prim-)Zahl alle Zahlen der Form mit teilt und somit schon eine gesuchte Riesel-Zahl zur Basis b ist, muss zusätzlich die Bedingung gefordert werden.
Nun kann man wieder die Basis beliebig hoch werden lassen. Untersucht werden momentan aber wie schon bei Sierpiński-Zahlen „nur“ Basen bis . Es folgt eine Tabelle mit dem momentanen Wissensstand (Stand: 10. Februar 2022) für Basen bis :[19][20]
b | vermutete kleinste Riesel-Zahl k |
Problemfälle k, für die man noch keine Primzahlen kennt, die kleiner als die vermutete kleinste Riesel-Zahl k und keine Vielfachen von ebenfalls unbekannten Problemfällen sind |
größte so gefundene Primzahl |
---|---|---|---|
2 | 509203 | 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 478214, 485557, 494743 (insgesamt 46 Problemfälle) |
192971·214773498−1 |
3 | 63.064.644.938 | 3677878, 6878756, 10463066, 10789522, 16874152, 18137648, 21368582, 29140796, 31064666, 38394682, 40175404, 40396658, 51672206, 52072432, 56244334, 59254534, 62126002, 62402206, 65337866, 71248336,… (diese 20 und noch 100715 weitere, also insgesamt 100735 Problemfälle) |
1406656564·3999428−1 |
4 | 9 | keine Problemfälle mehr | 8·41−1 |
5 | 346802 | 3622, 4906, 23906, 26222, 35248, 52922, 63838, 64598, 68132, 71146, 76354, 81134, 92936, 102952, 109238, 109862, 127174, 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908, 177742, 182398, 187916, 189766, 190334, 195872, 201778, 204394, 206894, 213988, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 265702, 267298, 271162, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 325922, 335414, 338866 (insgesamt 60 Problemfälle) |
273662·53493296−1 |
6 | 84687 | 1597 | 36772·61723287−1 |
7 | 408.034.255.082 | 315768, 1356018, 2494112, 2631672, 3423408, 3885264, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4870566, 4990788, 5529368, 5646066, 6279074, 6463028, 6544614, 7030248, 7320606, 7446728,… (diese 20 und noch 16382 weitere bis k ≤ 1.000.000.000, also bis dahin insgesamt 16402 Problemfälle) |
1620198·7684923−1 |
8 | 14 | keine Problemfälle mehr | 11·818−1 |
9 | 4 | keine Problemfälle mehr | 2·91−1 |
10 | 10176 | 4421 | 7019·10881309−1 |
11 | 862 | keine Problemfälle mehr | 62·1126202−1 |
12 | 25 | keine Problemfälle mehr | 24·124−1 |
13 | 302 | keine Problemfälle mehr | 288·13109217−1 |
14 | 4 | keine Problemfälle mehr | 2·144−1 |
15 | 36.370.321.851.498 | 381714, 4242104, 4502952, 5237186, 7256276, 8524154, 9105446, 9756404, 10069238, 10490606, 10760410, 11118550, 11176190, 11363488, 11379666, 11584450, 11592838, 11673800, 11923190, 11932550, 12001166, 12195588, 12196414, 12214618, 12232180, 12285068, 12761898, 12774620, 12798602, 13426356, 14187490, 14216734, 14484080, 14781416, 15182502, 15281088, 15394108, 15560768, 15691976, 15914770, 16024332, 16338798, 16695396, 16955764, 17553722, 17730944, 18267324, 18336638, 18473856, 18709072, 19615792, 19714546, 19960660,… (diese 53 und noch viele weitere ab k > 20.000.000) |
5854146·15428616−1 |
16 | 9 | keine Problemfälle mehr | 8·161−1 |
17 | 86 | keine Problemfälle mehr | 44·176488−1 |
18 | 246 | keine Problemfälle mehr | 151·18418−1 |
19 | 144 | keine Problemfälle mehr | 134·19202−1 |
20 | 8 | keine Problemfälle mehr | 2·2010−1 |
21 | 560 | keine Problemfälle mehr | 64·212867−1 |
22 | 4461 | 3656 | 3104·22161188−1 |
23 | 476 | 404 | 194·23211140−1 |
24 | 4 | keine Problemfälle mehr | 3·241−1 |
25 | 36 | keine Problemfälle mehr | 32·254−1 |
26 | 149 | keine Problemfälle mehr | 115·26520277−1 |
27 | 8 | keine Problemfälle mehr | 6·272−1 |
28 | 144 | keine Problemfälle mehr | 107·2874−1 |
29 | 4 | keine Problemfälle mehr | 2·29136−1 |
30 | 1369 | 659, 1024 | 239·30337990−1 |
Auch in dieser Tabelle kann man erkennen, dass für gewisse Basen alle Problemfälle gelöst sind. Das bedeutet, dass die oben genannte Riesel-Zahl tatsächlich die kleinste Riesel-Zahl zu dieser Basis b ist und dass folglich alle Zahlen der Form für alle zusammengesetzte Zahlen sind. Im Folgenden werden die kleinsten Teiler für die schon bewiesenen und die noch vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen angegeben:[19][20]
b | bewiesene kleinste Riesel-Zahl k |
vermutete kleinste Riesel-Zahl k |
(kleinste) Teiler von |
---|---|---|---|
2 | 509203 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5, 7, 13, 17 oder 241 | |
3 | 63.064.644.938 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193 oder 757 | |
4 | 9 | ||
5 | 346802 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 13, 31 oder 601 | |
6 | 84687 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 13, 31, 37 oder 97 | |
7 | 408.034.255.082 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13, 19, 43, 73, 181, 193 oder 1201 | |
8 | 14 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 13 | |
9 | 4 | ||
10 | 10176 | hat immer mindestens einen der Teiler 7, 11, 13 oder 37 | |
11 | 862 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 19 oder 37 | |
12 | 25 | hat für ungerade n immer den Teiler 13 für gerade n | |
13 | 302 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 7 oder 17 | |
14 | 4 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5 | |
15 | 36.370.321.851.498 | hat immer mindestens einen der Teiler 13, 17, 113, 211, 241, 1489 oder 3877 | |
16 | 9 | ||
17 | 86 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 29 | |
18 | 246 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 13 oder 19 | |
19 | 144 | hat für ungerade n immer den Teiler 5 für gerade n | |
20 | 8 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 7 | |
21 | 560 | hat immer mindestens einen der Teiler 11, 13 oder 17 | |
22 | 4461 | hat immer mindestens einen der Teiler 5, 23 oder 97 | |
23 | 476 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 5 oder 53 | |
24 | 4 | hat für ungerade n immer den Teiler 5 für gerade n | |
25 | 36 | ||
26 | 149 | hat immer mindestens einen der Teiler 3, 7, 31 oder 37 | |
27 | 8 | ||
28 | 144 | hat für ungerade n immer den Teiler 29 für gerade n | |
29 | 4 | hat immer mindestens einen der Teiler 3 oder 5 | |
30 | 1369 | hat für ungerade n immer mindestens einen der Teiler 7, 13 oder 19 für gerade n |
Es folgt noch eine Liste der vermuteten kleinsten Riesel-Zahlen zur Basis :
Weblinks
- Seventeen Or Bust (Distributed-Computing-Projekt, englisch)
- PrimeGrid (Distributed Computing-Projekt, englisch)
- The Prime Glossary
- Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status.
- Wilfrid Keller: The Riesel Problem: Definition and Status.
- A search for some small Brier numbers. Yves Gallot, 2000
- Joe McLean: Brier Numbers.
- Michael Filaseta, Carrie Finch, Mark Kozek: On Powers Associated with Sierpiński Numbers, Riesel Numbers and Polignac’s Conjecture. (PDF; 255 kB)
- Startseite des Internet-Projektes “Seventeen or Bust”
- Tabelle aller Vermutungen bis zur Basis 1030
Einzelnachweise
- Beweis, dass k=78557 eine Sierpiński-Zahl ist (englisch). Abgerufen am 14. Juli 2019.
- Chris K. Caldwell: Sierpinski number. The Prime Glossary, abgerufen am 27. Dezember 2019 (englisch).
- Rytis Slatkevičius: Seventeen or Bust. Prime Grid, abgerufen am 29. Dezember 2019 (englisch).
- Wilfrid Keller: The Sierpiński Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 31. Dezember 2019 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
- Rytis Slatkevičius: Welcome to the Extended Sierpinski Problem. PrimeGrid, abgerufen am 31. Dezember 2019 (englisch, erweitertes Sierpiński-Problem).
- Chris K. Caldwell: Riesel number. The Prime Glossary, abgerufen am 1. September 2016 (englisch).
- Wilfrid Keller: The Riesel Problem: Definition and Status. Prothsearch, abgerufen am 27. April 2021 (englisch).
- Five or Bust. rechenkraft.net, abgerufen am 2. Januar 2016.
- Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000. PRP Records, abgerufen am 6. Juni 2021.
- Jean Pennè: Even k’s and the Sierpinski conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 30. Januar 2016 (englisch).
- Giovanni Resta: de Polignac numbers. Abgerufen am 31. Januar 2016.
- Jason „jasong“ Goatcher: Even k’s and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 17. Februar 2016 (englisch).
- „kar_bon“: Even k’s and the Riesel conjecture. Mersenneforum, abgerufen am 1. April 2008 (englisch).
- Gary Barnes: Riesel conjecture base 2 remain. Mersenneforum, abgerufen am 18. Dezember 2017 (englisch).
- Jean Pennè: Index of Sierpeven. Abgerufen am 30. Januar 2016.
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