Satz von Weierstraß-Casorati

Der Satz v​on Weierstraß-Casorati (nach Karl Weierstraß u​nd Felice Casorati) i​st ein Satz a​us der Funktionentheorie u​nd beschäftigt s​ich mit d​em Verhalten holomorpher Funktionen i​n Umgebungen wesentlicher Singularitäten. Er h​at aber e​ine schwächere Aussage a​ls die Sätze v​on Picard.

Der Satz

Sei ${\displaystyle z_{0}}$ ein Punkt eines Gebietes ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle z_{0}}$ ist eine wesentliche Singularität der auf ${\displaystyle G\setminus \{z_{0}\}}$ holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ genau dann, wenn für jede in ${\displaystyle G}$ liegende Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ das Bild ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$ dicht in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in ${\displaystyle z_{0}}$ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder (noch so kleinen) Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von ${\displaystyle f}$ approximiert werden kann.

Beweis

Wir zeigen die Kontraposition der Aussage: ${\displaystyle z_{0}}$ ist genau dann keine wesentliche Singularität, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U\subseteq G}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ gibt und eine nichtleere offene Menge ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} }$, so dass ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$ disjunkt zu ${\displaystyle V}$ ist.

Sei zunächst ${\displaystyle z_{0}}$ keine wesentliche Singularität, also entweder eine hebbare Singularität oder eine Polstelle. Im hebbaren Fall ist (die stetige Fortsetzung von) ${\displaystyle f}$ in einer Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ beschränkt, etwa ${\displaystyle |f(z)|<r}$ für alle ${\displaystyle z\in U\setminus \{z_{0}\}}$. Dann ist ${\displaystyle V:=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|>r\}}$ disjunkt zu ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$. Hat ${\displaystyle f}$ dagegen in ${\displaystyle z_{0}}$ eine Polstelle, so ist ${\displaystyle f(z)={\tfrac {g(z)}{(z-z_{0})^{m}}}}$ für eine natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ und ein holomorphes ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle g(z_{0})\neq 0}$. In einer hinreichend kleinen ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ gilt ${\displaystyle |g(z)|>{\tfrac {1}{2}}|g(z_{0})|}$ und folglich ${\displaystyle |f(z)|>{\tfrac {1}{2\varepsilon ^{m}}}|g(z_{0})|}$, d. h. ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$ ist disjunkt zu ${\displaystyle V:=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<{\tfrac {1}{2\varepsilon ^{m}}}|g(z_{0})|\}}$.

Sei jetzt umgekehrt ${\displaystyle U\subseteq G}$ eine Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} }$ offen, nicht leer und disjunkt zu ${\displaystyle f(U\setminus \{z_{0}\})}$. Dann enthält ${\displaystyle V}$ eine offene Kreisscheibe, es gibt also eine Zahl ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ und ein ${\displaystyle r>0}$ mit ${\displaystyle |f(z)-w|>r}$ für alle ${\displaystyle z\in U\setminus \{z_{0}\}}$. Es folgt, dass ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(z)-w}}}$ auf ${\displaystyle U\setminus \{z_{0}\}}$ durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ beschränkt ist. Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{f(z)-w}}}$ zu einer auf ganz ${\displaystyle U}$ holomorphen Funktion ${\displaystyle g}$ fortsetzbar. Da ${\displaystyle g}$ nicht die Nullfunktion sein kann, gibt es ein ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ und holomorphes ${\displaystyle h}$ mit ${\displaystyle g(z)=(z-z_{0})^{m}\cdot h(z)}$ und ${\displaystyle h(z_{0})\neq 0}$. In einer möglicherweise kleineren Umgebung ${\displaystyle U'\subseteq U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ ist auch ${\displaystyle {\tfrac {1}{h(z)}}}$ holomorph. Dies bedeutet

${\displaystyle (z-z_{0})^{m}f(z)={\frac {1}{h(z)}}+(z-z_{0})^{m}w}$ für alle ${\displaystyle z\in U'\setminus \{z_{0}\}}$.

Die rechte Seite ist holomorph, also hat ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle z_{0}}$ allenfalls eine Polstelle vom Grad ${\displaystyle m}$.

Literatur

• Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4