Satz von Toponogow

In d​er Geometrie stellt d​er Satz v​on Toponogow d​en Zusammenhang zwischen Riemannscher Geometrie u​nd synthetischer metrischer Geometrie her. Anschaulich besagt er, d​ass in e​iner Mannigfaltigkeit m​it nach o​ben beschränkter Krümmung Dreiecke n​icht dicker s​ind als i​m Vergleichsraum konstanter Krümmung.

Er w​urde 1958 v​on Wiktor Andrejewitsch Toponogow bewiesen.

Vergleichsräume

Zu jeder Zahl ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$ und jedem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt es eine eindeutige einfach zusammenhängende ${\displaystyle n}$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle E_{\delta }^{n}}$ der Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle \delta }$. Für ${\displaystyle \delta >0}$ ist dies die Sphäre vom Radius ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\delta }}}}$, für ${\displaystyle \delta =0}$ der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und für ${\displaystyle \delta <0}$ der mit dem Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-\delta }}}}$ skalierte hyperbolische Raum.

Vergleichsdreieck

Ein Vergleichsdreieck in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=E_{\delta =0}^{2}}$. Aus ${\displaystyle K_{M}\leq 0}$ folgt ${\displaystyle d(x,y)\leq \|x^{\prime }-y^{\prime }\|}$.

Ein geodätisches Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist ein Dreieck mit Ecken ${\displaystyle a,b,c\in M}$, dessen drei Seiten minimierende Geodäten sind.

Sei ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$ eine obere Schranke für die Schnittkrümmungen in ${\displaystyle M}$, also ${\displaystyle K_{M}\leq \delta }$. Dann gibt es zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ mit Seitenlängen ${\displaystyle d(a,b),d(a,c),d(b,c)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$ (insbesondere zu jedem geodätischen Dreieck falls ${\displaystyle \delta <0}$) ein Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ in ${\displaystyle E_{\delta }^{2}\subset E_{\delta }^{n}}$ mit

${\displaystyle d(a,b)=\lVert a^{\prime }-b^{\prime }\rVert ,\ d(a,c)=\lVert a^{\prime }-c^{\prime }\rVert ,\ d(b,c)=\lVert b^{\prime }-c^{\prime }\rVert }$.

Dieses Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig, wenn entweder ${\displaystyle \delta \leq 0}$ oder ${\displaystyle \delta >0}$ und alle Seitenlängen kleiner als ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$ sind. Man hat dann eine Vergleichsabbildung

${\displaystyle \partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$,

die (zum Beispiel) jedem Punkt ${\displaystyle x}$ auf der Seite ${\displaystyle (a,b)}$ den entsprechenden Punkt ${\displaystyle x^{\prime }}$ auf der Seite ${\displaystyle (a^{\prime },b^{\prime })}$ (d. h. den eindeutigen Punkt mit ${\displaystyle \lVert x^{\prime }-a^{\prime }\rVert =d(x,a)}$) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

Satz von Toponogow

Untere Krümmungsschranken

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle K_{M}\geq \delta }$ für eine Zahl ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$. Sei

${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })\subset E_{\delta }^{2}}$

ein Vergleichsdreieck z​u einem geodätischen Dreieck

${\displaystyle \Delta (a,b,c)\subset M}$.

Dann gilt

${\displaystyle d_{E_{\delta }^{2}}(x^{\prime },c^{\prime })\leq d_{M}(x,c)}$

für alle ${\displaystyle x\in \left[a,b\right]\subset \partial \Delta (a,b,c)\subset M}$.

Obere Krümmungsschranken

Ein entsprechender Satz g​ilt für o​bere Krümmungsschranken, w​obei man h​ier weitere Voraussetzungen benötigt.

Sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle K_{M}\leq \delta }$. Falls ${\displaystyle \delta \leq 0}$ sei ${\displaystyle M}$ einfach zusammenhängend, und falls ${\displaystyle \delta >0}$ habe das geodätische Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)\subset M}$ Seitenlängen höchstens ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {\delta }}}}$.

Dann gilt für das Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })\subset E_{\delta }^{2}}$

${\displaystyle d_{E_{\delta }^{2}}(x^{\prime },c^{\prime })\geq d_{M}(x,c)}$

für alle ${\displaystyle x\in \left[a,b\right]\subset \partial \Delta (a,b,c)\subset M}$.

Folgerungen

Aus dem Satz von Toponogow folgt, dass Hadamard-Mannigfaltigkeiten (einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung) CAT(0)-Räume sind und alle dementsprechenden Eigenschaften haben: sie sind zusammenziehbar, je zwei Punkte lassen sich durch eine eindeutige Geodäte verbinden und für Geodäten ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ist die Funktion ${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$ konvex.

Literatur

• Chavel, Isaac (2006), Riemannian Geometry; A Modern Introduction (second ed.), Cambridge University Press
• Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5

Weblinks

• W. Meyer: Toponogov's Theorem and Applications
• J. Eschenburg: Comparison Theorems in Riemannian Geometry
• U. Lang, V. Schroeder: On Toponogov's Comparison Theorem for Alexandrov Spaces