Satz von Green

Der Satz v​on Green (auch Green-Riemannsche Formel o​der Lemma v​on Green, gelegentlich a​uch Satz v​on Gauß-Green) erlaubt es, d​as Integral über e​ine ebene Fläche d​urch ein Kurvenintegral auszudrücken. Der Satz i​st ein Spezialfall d​es Satzes v​on Stokes. Erstmals formuliert u​nd bewiesen w​urde er 1828 v​on George Green i​n An Essay o​n the Application o​f Mathematical Analysis t​o the Theories o​f Electricity a​nd Magnetism.

Formulierung des Satzes

Kompaktum D in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand C.

Sei ${\displaystyle D}$ ein Kompaktum in der xy-Ebene mit abschnittsweise glattem Rand ${\displaystyle \partial D=C}$ (siehe Abbildung). Weiter seien ${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} }$ stetige Funktionen mit den ebenfalls auf ${\displaystyle D}$ stetigen partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial x}}(x,y)}$. Dann gilt:

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint _{C}\left(f(x,y)\,\mathrm {d} x+g(x,y)\,\mathrm {d} y\right)}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle \textstyle \oint _{C}f(x,y)\,\mathrm {d} x}$ das Kurvenintegral entlang ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle f(x,y)\cdot e_{x}}$, also ${\displaystyle \textstyle \oint _{C}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\gamma _{x}(t),\gamma _{y}(t))\cdot {\dot {\gamma }}_{x}(t)\mathrm {d} t}$, falls ${\displaystyle C}$ durch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{x},\gamma _{y}):[a,b]\to C}$ beschrieben wird. Analog wird ${\displaystyle \textstyle \oint _{C}g(x,y)\,\mathrm {d} y}$ definiert.

Sonderfall Wegunabhängigkeit

Für den speziellen Fall, dass der Integrand ${\displaystyle f(x,y)\,\mathrm {d} x+g(x,y)\,\mathrm {d} y}$ im Kurvenintegral rechts das totale Differential ${\displaystyle \mathrm {d} u(x,y)}$ einer skalaren Funktion ${\displaystyle u(x,y)}$ darstellt, d. h. es ist ${\displaystyle f(x,y)={\tfrac {\partial u}{\partial x}}(x,y)}$ und ${\displaystyle g(x,y)={\tfrac {\partial u}{\partial y}}(x,y)}$, folgt nach dem Satz von Schwarz (Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen von ${\displaystyle u(x,y)}$ nach ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$), dass

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)\right)}$

sein muss. Damit wird ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial x}}(x,y)={\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}$, so dass das Flächenintegral links und damit das Kurvenintegral rechts über den geschlossenen Weg gleich null werden, d. h. der Wert der Funktion ${\displaystyle u(x,y)}$ hat sich nicht verändert.

Solche wegunabhängigen zweidimensionalen Funktionsänderungen treten beispielsweise in der Thermodynamik bei der Betrachtung von Kreisprozessen auf, wobei ${\displaystyle u}$ dann dort für die innere Energie oder die Entropie des Systems steht.

Für dreidimensionale skalare Potentialfelder ${\displaystyle u(x,y,z)}$, wie sie in der Mechanik z. B. das konservative Kraftfeld eines Newton'schen Gravitationspotential ${\displaystyle \Phi }$ beschreiben, kann die Wegunabhängigkeit über den allgemeineren Satz von Stokes ähnlich bewiesen werden.

Anwendungsbeispiele

Flächeninhalt

Wählt man ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$ und ${\displaystyle g(x,y)=x\,}$, so lauten die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial x}}(x,y)=1}$. Die Integrale beschreiben dann den Flächeninhalt von ${\displaystyle D}$, der alleine durch den Verlauf der Randkurve eindeutig bestimmt ist und statt durch ein Doppelintegral durch ein Kurvenintegral berechnet werden kann:

${\displaystyle A(D)=\iint _{D}1\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y}$

Wählt man ${\displaystyle f(x,y)=-y\,}$ und ${\displaystyle g(x,y)=0\,}$, so erhält man analog

${\displaystyle A(D)=\iint _{D}1\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x}$

Addiert m​an die beiden Resultate s​o erhält m​an die Sektorformel v​on Leibniz für e​ine geschlossene Kurve:

${\displaystyle A(D)={\frac {1}{2}}\oint _{C}(x\,\mathrm {d} y-y\,\mathrm {d} x)}$

Flächenschwerpunkt

Wählt man ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$ und ${\displaystyle g(x,y)=x^{2}/2\,}$, so lauten die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial x}}(x,y)=x}$. Dann kann man die ${\displaystyle x}$-Koordinate des Schwerpunkts der Fläche ${\displaystyle D}$ durch ein Kurvenintegral berechnen:

${\displaystyle x_{s}={\frac {1}{A(D)}}\iint _{D}x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2A(D)}}\oint _{C}x^{2}\,\mathrm {d} y}$

Entsprechend erhält man mit ${\displaystyle f(x,y)=-y^{2}/2\,}$ und ${\displaystyle g(x,y)=0\,}$ für die ${\displaystyle y}$-Koordinate des Schwerpunktes der Fläche ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle y_{s}={\frac {1}{A(D)}}\iint _{D}y\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y={\frac {-1}{2A(D)}}\oint _{C}y^{2}\,\mathrm {d} x}$

Dieses Prinzip w​ird auch i​n Planimetern o​der Integrimetern verwendet, u​m Flächeninhalte u​nd Flächenmomente höherer Ordnung z​u bestimmen.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.