Sektorformel von Leibniz

Die Sektorformel v​on Leibniz, benannt n​ach Gottfried Wilhelm Leibniz, berechnet d​en orientierten Flächeninhalt, d​en ein Fahrstrahl e​ines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere k​ann man m​it ihr Flächeninhalte v​on Gebieten, d​ie durch e​ine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.

Kurve mit Fahrstrahl

geschlossene Kurve mit Fahrstrahl

Formel

Sei ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$ eine glatte Kurve, dann überstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flächeninhalt ${\displaystyle F}$ der folgenden Größe:

${\displaystyle F(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt}$

Stückweise glatte Kurven

Ist ${\displaystyle \gamma }$ eine stückweise glatte Kurve auf ${\displaystyle [a,b]}$ und ${\displaystyle \{t_{0},\ldots ,t_{n}\}}$ eine Partition von ${\displaystyle [a,b]}$, so dass ${\displaystyle \gamma }$ auf den Teilintervallen ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ für ${\displaystyle k=1,\ldots n}$ glatt ist, so gilt:

${\displaystyle F(\gamma )=F(\gamma _{1})+\ldots +F(\gamma _{n})}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \gamma _{k}}$ die auf das Intervall ${\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}$ beschränkte Kurve.

Zusammenhang mit Dreiecken

Dreieck als stückweise glatte Kurve

Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle C=(x_{3},y_{3})}$ die Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks, dann wird dieses durch die folgende stückweise glatte Kurve ${\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ beschrieben:

${\displaystyle \gamma (t):={\begin{cases}\gamma _{a}(t)=(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)&{\text{falls }}0\leq t\leq 1\\\gamma _{b}(t)=(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1),\,y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))&{\text{falls }}1\leq t\leq 2\\\gamma _{c}(t)=(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2),\,y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))&{\text{falls }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}$

Dann g​ilt nun für d​ie Flächenberechnung d​es Dreiecks:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}$

Zusammenhang mit den Integralsätzen

Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green. Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$ eingeschlossene Fläche ${\displaystyle B}$ und zwei differenzierbare Funktionen ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ die folgende Gleichung:

${\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}$

Wählt man für die dortigen Funktionen ${\displaystyle f(x,y)=-y}$ und ${\displaystyle g(x,y)=x}$, so gilt ${\displaystyle f_{y}(x,y)=-1}$ und ${\displaystyle g_{x}(x,y)=1}$ und man erhält:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}$

Da d​ie Integration über e​ine Fläche m​it 1 d​en Flächeninhalt selbst liefert, gilt:

${\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}$.

Alternative Formel

Alternative Formel

In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen ${\displaystyle x(t)}$ und ${\displaystyle y(t)}$ der Parameterkurve ${\displaystyle \gamma (t)}$ eine Funktion ${\displaystyle r(t)}$, die den Abstand eines Kurvenpunktes vom Zentrum einer sternförmigen Menge ${\displaystyle B}$ beschreibt. Mit dieser gilt dann:

${\displaystyle F(B)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(t)^{2}\ dt}$

Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist ${\displaystyle (x_{z},y_{z})}$ ein Zentrum der sternförmigen Menge, so lässt sich r(t) mittels der Beziehung ${\displaystyle r(t)={\sqrt {(x(t)-x_{z})^{2}+(y(t)-y_{z})^{2}}}}$ aus den Koordinatenfunktionen der Parameterkurve berechnen.

Beispiel

Eine Herzkurve ${\displaystyle \gamma$ :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} besitzt die folgende Parameterdarstellung:

${\displaystyle x=a\cos(t)(1+\cos(t))\qquad y=a\sin(t)(1+\cos(t))}$

Mit d​er Sektorformel ergibt s​ich dann d​er folgende Flächeninhalt:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}$

Herzkurve

Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man ${\displaystyle (0,0)}$ als Zentrum wählen und erhält dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}$

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 343
• Wolfgang Walter: Analysis I. 2-te Auflage, Springer 1985, ISBN 3-540-51708-1, S. 285–286
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 498

Weblinks

• J. Weikert: Kurven und Bogenlänge (PDF; 595 kB). In Mathematik für Informatiker I, Skript Uni Saarland
• Mehrdimensionale Integralrechnung. In Höhere Mathematik II (Uni-Skript)