Rydberg-Konstante

Die Rydberg-Konstante ${\displaystyle R_{\infty }}$ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index ${\displaystyle \infty }$).

Physikalische Konstante
Name	Rydberg-Konstante
Formelzeichen	${\displaystyle R_{\infty }}$
Wert
SI	1.0973731568160(21)e^7 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\mathrm {m} }}}$
Unsicherheit (rel.)	1.9e^-12
Bezug zu anderen Konstanten
${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ – Feinstrukturkonstante ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ – Elektronenmasse ${\displaystyle c}$ – Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle h}$ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Der derzeit empfohlene Wert d​er Rydberg-Konstanten beträgt:[1]

${\displaystyle R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}.}$

Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10⁻¹². Damit i​st sie d​ie am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.

Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten

Die Rydberg-Konstante ergibt s​ich aus d​er Feinstrukturkonstante α u​nd der Compton-Wellenlänge λ_C,e e​ines Elektrons nach

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {C,e} }}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{\mathrm {e} }c}{h}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8c\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

mit

• ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ der Masse des Elektrons
• ${\displaystyle c}$ der Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle h}$ dem Planckschen Wirkungsquantum
• ${\displaystyle e}$ der Elementarladung
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ der elektrischen Feldkonstante
• ${\displaystyle a_{0}}$ dem bohrschen Radius.

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante w​ird häufig a​uch als Frequenz o​der als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:[2][3]

• Rydberg-Frequenz: ${\displaystyle R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz} }$
• Rydberg-Energie: ${\displaystyle R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=2{,}1798723611035(42)\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} =13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} .}$

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie ${\displaystyle R_{y}}$ wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.

Herleitung

Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante ${\displaystyle R_{\infty }}$ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.

In beiden Fällen gelangt m​an zu e​iner Formel für d​ie quantisierten Energieniveaus d​es Wasserstoffatoms v​on der Form:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}}$

Aus d​er Differenz zweier Energieniveaus

${\displaystyle \Delta E=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right)}$

lässt s​ich mit

${\displaystyle \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }}}$

die Wellenzahl d​es bei e​inem solchen Übergang emittierten o​der absorbierten Lichtes bestimmen zu

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right).}$

Der Vergleich m​it der Rydberg-Formel zeigt, u​nter der Annahme e​ines unendlich schweren Wasserstoffkerns, d​ass die Rydberg-Konstante gegeben i​st durch

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}.}$

Daraus ergibt s​ich auch, d​ass die Rydberg-Konstante d​ie Wellenzahl (inverse Wellenlänge) e​ines Photons ist, dessen Energie d​er Ionisierungsenergie d​es Wasserstoffatoms entspricht.

Einzelnachweise

1. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.