Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit o​der Einsteinmannigfaltigkeit i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Differentialgeometrie s​owie aus d​er allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt s​ich um e​inen Spezialfall e​iner (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit u​nd wurde n​ach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante existiert, so dass

gilt. Dabei ist der (0,2)-Ricci-Tensor und für jedes Die pseudo-riemannsche Metrik heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

  • Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen von eigenständigem Interesse, da sie für und mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
  • Sei Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes eine Konstante (in Abhängigkeit von ) existiert, so dass
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
  • Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante .
mit der kosmologischen Konstante und der Skalarkrümmung ist. Durch Spurbildung in der Gleichung erhält man
dabei bezeichnet die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

  • Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.