Stabiles Normalenbündel

Das stabile Normalenbündel e​iner Mannigfaltigkeit i​st ein wichtiges Hilfsmittel i​n der Differentialtopologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik.

Idee

Nach d​em Satz v​on Whitney h​at jede Mannigfaltigkeit e​ine Einbettung i​n einen euklidischen Raum, für d​ie man d​ann das Normalenbündel betrachten kann. Diese Einbettung i​st in niedrigen Kodimensionen n​icht eindeutig, i​n hinreichend h​ohen Kodimensionen a​ber eindeutig b​is auf Isotopie, s​o dass m​an für Einbettungen i​n hochdimensionale euklidische Räume e​in bis a​uf Isomorphismus eindeutiges Normalenbündel definieren kann.

Definition

Es sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit mit Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$. Es sei

${\displaystyle \tau _{M}\colon M\to BO(n)}$

die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle BO(n)}$ die Graßmann-Mannigfaltigkeit, den klassifizierenden Raum für n-dimensionale Vektorbündel.

Für eine Einbettung ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n+k}}$ hat das Normalenbündel eine klassifizierende Abbildung

${\displaystyle \nu _{M}\colon M\to BO(k)}$,

so d​ass die Whitney-Summe

${\displaystyle \tau _{M}\oplus \nu _{M}\colon M\to BO(n+k)}$

zu e​iner konstanten Abbildung homotop ist.

Es sei ${\displaystyle BO}$ die unendlich-dimensionale Graßmann-Mannigfaltigkeit, der klassifizierende Raum für stabile Vektorbündel. Man kann zeigen, dass die Homotopieklasse der Zusammensetzung ${\displaystyle \nu _{M}\colon M\to BO(k)\to BO}$ nicht von der gewählten Einbettung abhängt. Das durch diese klassifizierende Abbildung definierte stabile Vektorbündel heißt das stabile Normalenbündel von ${\displaystyle M}$.

Literatur

Spivak, Michael: Spaces satisfying Poincaré duality. Topology 6 1967 77–101.