Satz von Berry-Esseen

Der Satz v​on Berry-Esseen i​st ein Satz a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie, d​er Aussagen über d​ie Güte d​er Konvergenz i​m Zentralen Grenzwertsatz trifft. Er g​ibt sowohl d​ie Konvergenzgeschwindigkeit a​ls auch e​ine numerische Abschätzung für d​ie Annäherung a​n die Normalverteilung an. Der Satz w​urde unabhängig voneinander d​urch die Mathematiker Andrew C. Berry (1941) u​nd Carl-Gustav Esseen (1942, veröffentlicht 1944) bewiesen.

Satz von Berry-Esseen

Es sei ${\displaystyle (X_{n})}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$, für die die Erwartungswerte ${\displaystyle \mu =\mathrm {E} (X_{n})}$ und die Varianzen ${\displaystyle \sigma ^{2}=\mathrm {E} ((X_{n}-\mu )^{2})}$ existieren und endlich sind. Dann konvergieren nach dem Zentralen Grenzwertsatz die Verteilungsfunktionen

${\displaystyle F_{n}(x)=P\left({\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}-n\cdot \mu }{\sigma \cdot {\sqrt {n}}}}\leq x\right)}$ für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

der standardisierten Summen gegen die Normalverteilung ${\displaystyle \Phi _{0,1}}$.

Wenn das dritte absolute Moment ${\displaystyle \rho =\mathrm {E} (|X_{n}-\mu |^{3})}$ der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{n}}$ existiert, dann gilt für eine allgemeine Konstante ${\displaystyle C}$, die unabhängig von der Verteilung der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{n}}$ ist, die Abschätzung

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-\Phi _{0,1}(x)\right|\leq {\frac {C\cdot \rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Für den Fall, dass ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ unabhängig, jedoch nicht identisch verteilt sind, gilt mit ${\displaystyle \mu _{i}=\mathrm {E} (X_{i})}$, ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\mathrm {E} ((X_{i}-\mu _{i})^{2})<\infty }$ und ${\displaystyle \rho _{i}=\mathrm {E} (|X_{i}-\mu _{i}|^{3})<\infty }$, ${\displaystyle r_{n}=\rho _{1}+\ldots +\rho _{n}}$ und ${\displaystyle s_{n}^{2}=\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{n}^{2}}$ die Abschätzung

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-\Phi _{0,1}(x)\right|\leq {\frac {C_{x}\cdot r_{n}}{s_{n}^{3}}}}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.[1]

Bemerkungen

• Für die Gültigkeit des Satzes von Berry-Esseen wird außer den Voraussetzungen für den Zentralen Grenzwertsatz (Existenz von Erwartungswert und Varianz) zusätzlich die Existenz des dritten Moments gefordert. Deshalb liefert der Satz nicht für alle Fälle, in denen der Zentrale Grenzwertsatz gilt, eine Aussage über die Güte der Konvergenz gegen die Normalverteilung.
• Der Satz von Berry-Esseen gibt als qualitative Aussage die Konvergenzgeschwindigkeit im Zentralen Grenzwertsatz mit der Größenordnung ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$ an. Ohne weitere Voraussetzungen an die Verteilung der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{n}}$ ist dies die bestmögliche Größenordnung, wie der Spezialfall der Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle \mathrm {P} \{X_{n}=0\}=\mathrm {P} \{X_{n}=1\}=1/2}$ zeigt.
• Der Satz liefert eine quantitative Abschätzung der Annäherung an die Normalverteilung. Die Konstante ${\displaystyle C}$ ist eine „universelle Konstante“, die nicht von den Eigenschaften der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{n}}$ abhängt.

Die Berry-Esseen-Konstante

Die Konstante ${\displaystyle C}$, die für die quantitative Abschätzung der Konvergenz von Bedeutung ist, wird in der Literatur als Berry-Esseen-Konstante (engl. Berry-Esseen bound) bezeichnet.

In der Originalarbeit von Carl-Gustav Esseen wird C mit 7,59 angegeben. Seitdem wurde sie immer weiter verbessert. Im Jahr 1985 wurde von Shiganov der Wert C = 0,7655 angegeben.[2] Der beste bis heute bekannte Wert (Stand 2012) ist C = 0,4748.[3] Andererseits folgt aus dem oben genannten Spezialfall der Bernoulli-Verteilung, dass ${\displaystyle C}$ größer als ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}\approx 0{,}3989}$ sein muss. Esseen selbst bewies, dass ${\displaystyle C}$ größer als ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0{,}4097}$ ist.[4]

Im Fall der nicht identischen Verteilung gilt ${\displaystyle C_{x}\leq 0{,}5591}$.[1]

Literatur

• Andrew C. Berry: The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variables. In: Transaction of the American Mathematical Society. 49, 1941, S. 122–136.
• Carl-Gustav Esseen: Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. Dissertation. In: Acta mathematica. 77, 1944.
• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume II. John Wiley & Sons, New York 1972, ISBN 0-471-25709-5.

Einzelnachweise

1. I. S. Tyurin: A Refinement of the Remainder in the Lyapunov Theorem. In: Theory of Probability and Its Applications. 56, 4, 2012, S. 693–696 (doi:10.1137/S0040585X9798572X).
2. I. S. Shiganov: Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem. In: Journal of Soviet Mathematics. 1986, S. 2545–2550 (doi:10.1007/BF01121471).
3. Irina Shevtsova: On the absolute constants in the Berry–Esseen type inequalities for identically distributed summands. (online, PDF, 141 kB).
4. Carl-Gustav Esseen: A moment inequality with an application to the central limit theorem. In: Skandinavisk Aktuarietidskrift. 39, 1956, S. 160–170.
   Siehe auch: Berry-Esseen Constant. In: Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 264 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).