Milstein-Verfahren

Das Milstein-Verfahren d​er stochastischen Analysis bezeichnet e​ine Methode für d​ie numerische Lösung v​on stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt n​ach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität d​es Uralgebiets).

Algorithmus

Betrachte d​ie Itō-SDGL

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}$

mit Anfangsbedingung ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$, wobei ${\displaystyle W_{t}}$ den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation ${\displaystyle Y}$ für die wahre Lösung ${\displaystyle X}$ auf einem äquidistanten Gitter:

• Zerlege das Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ in ${\displaystyle N}$ gleich lange Teilintervalle der Länge ${\displaystyle \delta >0}$:

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T}$ und ${\displaystyle \delta ={\tfrac {T}{N}}}$.

• Setze ${\displaystyle Y_{0}:=x_{0}}$.

• Definiere ${\displaystyle Y_{n+1}}$ für ${\displaystyle 0\leq n<N}$ durch

${\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right),}$

wobei

${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$

und ${\displaystyle b'}$ die Ableitung von ${\displaystyle b(x)}$ bezüglich ${\displaystyle x}$ ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen ${\displaystyle \Delta W_{n}}$ unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz ${\displaystyle \delta }$.

Konvergenz

Mit den obigen Bezeichnungen gilt ${\displaystyle E[|Y_{n}-X(\tau _{n})|]={\hbox{o}}(\delta )\;}$ für ${\displaystyle \delta \to 0}$ und alle ${\displaystyle n=0,...,N}$, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. ${\displaystyle {\hbox{o}}}$ ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch

• Euler-Maruyama-Verfahren

Referenzen

• Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8.