Lokalisierung (Stochastik)

In d​er Stochastik versteht m​an unter Lokalisierung d​as Erweitern e​iner Klasse v​on stochastischen Prozessen d​urch solche, d​ie durch gezieltes Stoppen d​er Klasse zugehörig gemacht werden können. Hierbei i​st insbesondere d​er Begriff d​er lokalen Martingale v​on Bedeutung, d​ie eine wichtige Rolle i​n der stochastischen Analysis spielen.

Gestoppte Prozesse

Sei ein stochastischer Prozess auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum , wobei oder ist. Ist eine beliebige Stoppzeit bezüglich der Filtrierung, so bezeichnet man den Prozess

als bei gestoppten Prozess. Der Prozess stimmt also bis zum Zeitpunkt mit dem Prozess überein, bleibt aber danach bei seinem aktuellen Wert stehen und ändert seinen Zustand nicht mehr.

Lokalisierung von Prozessklassen

Sei nun eine Menge von Prozessen mit derselben Indexmenge , etwa die Menge aller Martingale oder aller Lévy-Prozesse. Ein Prozess heißt lokal von der Klasse , falls es eine Folge von Stoppzeiten gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

  • Es gilt fast sicher für , d. h. für fast alle divergiert die (deterministische) Folge gegen plus unendlich.
  • Für alle liegt der gestoppte Prozess in .

Die Lokalisierung der Menge wird nun definiert als Klasse aller Prozesse, die lokal von der Klasse sind. Eine zu einem lokalen Prozess gehörige (aber nicht eindeutige!) Folge von Stoppzeiten mit den obigen Eigenschaften wird auch als lokalisierende Folge von bezeichnet.

Eigenschaften

Die Abbildung ist kein Hüllenoperator: Es gilt zwar stets (zu jedem Prozess kann als lokalisierende Folge die konstante Folge f.s. gewählt werden), und auch die Bedingung gilt, jedoch gilt im Allgemeinen nicht , die Abbildung ist also nicht idempotent.

Zu einem Hüllenoperator wird die Abbildung erst, wenn man sich auf Mengen von Prozessen beschränkt, die stabil unter Stoppen sind: Eine Menge von stochastischen Prozessen heißt stabil unter Stoppen, wenn für alle und alle Stoppzeiten gilt: . Dann gilt obige Idempotenz sowie zusätzlich die Eigenschaft

Literatur

  • Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 978-3540643258.
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