Lokalisierung (Stochastik)

In d​er Stochastik versteht m​an unter Lokalisierung d​as Erweitern e​iner Klasse v​on stochastischen Prozessen d​urch solche, d​ie durch gezieltes Stoppen d​er Klasse zugehörig gemacht werden können. Hierbei i​st insbesondere d​er Begriff d​er lokalen Martingale v​on Bedeutung, d​ie eine wichtige Rolle i​n der stochastischen Analysis spielen.

Gestoppte Prozesse

→ Hauptartikel: Gestoppter Prozess

Sei ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ein stochastischer Prozess auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}})_{t\in T},P)}$, wobei ${\displaystyle T=\mathbb {N} _{0}}$ oder ${\displaystyle T=\mathbb {R} _{0}^{+}}$ ist. Ist ${\displaystyle \tau }$ eine beliebige Stoppzeit bezüglich der Filtrierung, so bezeichnet man den Prozess

${\displaystyle X^{\tau }=(X_{t}^{\tau })_{t\in T}\quad {\text{mit}}\quad X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min(\tau (\omega ),t)}(\omega ),\quad \omega \in \Omega }$

als bei ${\displaystyle \tau }$ gestoppten Prozess. Der Prozess ${\displaystyle X^{\tau }}$ stimmt also bis zum Zeitpunkt ${\displaystyle \tau }$ mit dem Prozess ${\displaystyle X}$ überein, bleibt aber danach bei seinem aktuellen Wert stehen und ändert seinen Zustand nicht mehr.

Lokalisierung von Prozessklassen

Sei nun ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Menge von Prozessen mit derselben Indexmenge ${\displaystyle T}$, etwa die Menge aller Martingale oder aller Lévy-Prozesse. Ein Prozess ${\displaystyle X}$ heißt lokal von der Klasse ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, falls es eine Folge ${\displaystyle (\tau _{i}),\;i\in \mathbb {N} }$ von Stoppzeiten gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

• Es gilt ${\displaystyle \tau _{i}\to \infty }$ fast sicher für ${\displaystyle i\to \infty }$, d. h. für fast alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ divergiert die (deterministische) Folge ${\displaystyle \tau _{1}(\omega ),\;\tau _{2}(\omega )\ldots }$ gegen plus unendlich.
• Für alle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ liegt der gestoppte Prozess ${\displaystyle X^{\tau _{i}}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Die Lokalisierung ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }}$ der Menge ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ wird nun definiert als Klasse aller Prozesse, die lokal von der Klasse ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sind. Eine zu einem lokalen Prozess ${\displaystyle X}$ gehörige (aber nicht eindeutige!) Folge von Stoppzeiten mit den obigen Eigenschaften wird auch als lokalisierende Folge von ${\displaystyle X}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Die Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\mapsto {\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }}$ ist kein Hüllenoperator: Es gilt zwar stets ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }}$ (zu jedem Prozess ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ kann als lokalisierende Folge die konstante Folge ${\displaystyle \tau _{n}:=\infty }$ f.s. gewählt werden), und auch die Bedingung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {D}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }\subseteq {\mathcal {D}}_{\mathrm {loc} }}$ gilt, jedoch gilt im Allgemeinen nicht ${\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} })_{\mathrm {loc} }={\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }}$, die Abbildung ist also nicht idempotent.

Zu einem Hüllenoperator wird die Abbildung erst, wenn man sich auf Mengen von Prozessen beschränkt, die stabil unter Stoppen sind: Eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ von stochastischen Prozessen heißt stabil unter Stoppen, wenn für alle ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ und alle Stoppzeiten ${\displaystyle \tau }$ gilt: ${\displaystyle X^{\tau }\in {\mathcal {C}}}$. Dann gilt obige Idempotenz sowie zusätzlich die Eigenschaft ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\cap {\mathcal {D}})_{\mathrm {loc} }={\mathcal {C}}_{\mathrm {loc} }\cap {\mathcal {D}}_{\mathrm {loc} }}$

Literatur

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 978-3540643258.