Lokal minimaler Schätzer

Ein lokal minimaler Schätzer, a​uch lokal optimaler Schätzer genannt, i​st ein spezieller erwartungstreuer Punktschätzer i​n der Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Lokal minimale Schätzer streuen für e​in vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß weniger a​ls alle anderen Schätzer, heißt i​hre Varianz i​st minimal. Somit s​ind lokal minimale Schätzer e​ine Abschwächung v​on gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzern, d​ie bezüglich e​iner ganzen Klasse v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen weniger streuen a​ls alle anderen Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie eine zu schätzende Parameterfunktion

${\displaystyle g:\Theta \to \mathbb {R} }$.

Sei ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge der erwartungstreuen Schätzer für ${\displaystyle g}$ und

${\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap {\mathcal {L}}^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für ${\displaystyle g}$ mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$, wobei ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ ist.

Dann heißt ein Schätzer ${\displaystyle S\in D_{g}(\vartheta _{0})}$ lokal minimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ oder lokal optimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$, wenn für alle weiteren ${\displaystyle T\in D_{g}(\vartheta _{0})}$ gilt, dass

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta _{0}}(S-g(\vartheta _{0}))^{2}\leq \operatorname {E} _{\vartheta _{0}}(T-g(\vartheta _{0}))^{2}}$

ist.

Kovarianzmethode

Die Kovarianzmethode liefert eine Möglichkeit, mittels der Kovarianz lokal minimale Schätzer zu konstruieren oder für einen gegebenen Schätzer zu überprüfen, ob er lokal minimal ist. Es bezeichne hierzu ${\displaystyle D_{0}}$ die Menge aller Null-Schätzer und ${\displaystyle D_{0}(\vartheta _{0}):=D_{0}\cap {\mathcal {L}}^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$ die Menge aller Null-Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$.

Ist dann ein ${\displaystyle S\in D_{g}(\vartheta _{0})}$ gegeben, so ist ${\displaystyle S}$ genau dann lokal minimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$, wenn für alle ${\displaystyle N\in D_{0}(\vartheta _{0})}$ gilt, dass

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\vartheta _{0}}(S;N)=0}$

ist.

Allgemeiner lässt sich die Kovarianzmethode auf jeden linearen Unterraum der Schätzfunktionen anwenden. Ist also ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ solch ein linerear Unterraum, so gilt für ein ${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}\cap D_{g}(\vartheta _{0})}$ die Aussage

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\vartheta _{0}}(S;N)=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} N\in {\mathcal {L}}\cap D_{0}(\vartheta _{0})}$,

genau dann, wenn ${\displaystyle S}$ lokal minimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap D_{g}(\vartheta _{0})}$ ist.

Existenz und Eindeutigkeit

Existenzaussagen für l​okal minimale Schätzer beruhen m​eist auf funktionalanalytischen Konzepten. Die l​okal minimalen Schätzer entsprechen g​enau den Minima d​es Funktionals, d​as durch

${\displaystyle T\mapsto \operatorname {E} _{\vartheta _{0}}(T^{2})}$

definiert wird. Eine Existenzaussage liefert beispielsweise der Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Etwas konkreter lässt sich schlussfolgern: Wird ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ von ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ dominiert, sind alle Dichtefunktionen ${\displaystyle f_{\vartheta }:={\tfrac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}}$ aus ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$ (siehe Lp-Raum) und ist ${\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0})\neq \emptyset }$, so existiert ein Schätzer ${\displaystyle S}$, der lokal minimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ist.

Die Kovarianzmethode liefert die Eindeutigkeit eines lokal minimalen Schätzers: Existiert ein lokal minimaler Schätzer in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$, so ist dieser ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$-fast sicher eindeutig bestimmt.

Wichtige Aussagen

Neben d​en Aussagen für gleichmäßig b​este erwartungstreue Schätzer, d​ie auch entsprechend punktweise, a​lso für l​okal minimale Schätzer gelten, s​ind folgende Aussagen wichtig:

• Satz von Barankin und Stein: Er charakterisiert die lokal minimalen Schätzer über den Abschluss der Linearkombinationen der Dichtefunktionen der beteiligten Wahrscheinlichkeitsmaße.
• Chapman-Robbins-Ungleichung: Sie erlaubt eine Abschätzung der Varianz eines Schätzers bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ und liefert bei Grenzübergang eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.