Lokal minimaler Schätzer

Ein lokal minimaler Schätzer, a​uch lokal optimaler Schätzer genannt, i​st ein spezieller erwartungstreuer Punktschätzer i​n der Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Lokal minimale Schätzer streuen für e​in vorgegebenes Wahrscheinlichkeitsmaß weniger a​ls alle anderen Schätzer, heißt i​hre Varianz i​st minimal. Somit s​ind lokal minimale Schätzer e​ine Abschwächung v​on gleichmäßig besten erwartungstreuen Schätzern, d​ie bezüglich e​iner ganzen Klasse v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen weniger streuen a​ls alle anderen Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell sowie eine zu schätzende Parameterfunktion

.

Sei die Menge der erwartungstreuen Schätzer für und

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für mit endlicher Varianz bezüglich , wobei ist.

Dann heißt ein Schätzer lokal minimal in oder lokal optimal in , wenn für alle weiteren gilt, dass

ist.

Kovarianzmethode

Die Kovarianzmethode liefert eine Möglichkeit, mittels der Kovarianz lokal minimale Schätzer zu konstruieren oder für einen gegebenen Schätzer zu überprüfen, ob er lokal minimal ist. Es bezeichne hierzu die Menge aller Null-Schätzer und die Menge aller Null-Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich .

Ist dann ein gegeben, so ist genau dann lokal minimal in , wenn für alle gilt, dass

ist.

Allgemeiner lässt sich die Kovarianzmethode auf jeden linearen Unterraum der Schätzfunktionen anwenden. Ist also solch ein linerear Unterraum, so gilt für ein die Aussage

,

genau dann, wenn lokal minimal in für ist.

Existenz und Eindeutigkeit

Existenzaussagen für l​okal minimale Schätzer beruhen m​eist auf funktionalanalytischen Konzepten. Die l​okal minimalen Schätzer entsprechen g​enau den Minima d​es Funktionals, d​as durch

definiert wird. Eine Existenzaussage liefert beispielsweise der Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Etwas konkreter lässt sich schlussfolgern: Wird von dominiert, sind alle Dichtefunktionen aus (siehe Lp-Raum) und ist , so existiert ein Schätzer , der lokal minimal in ist.

Die Kovarianzmethode liefert die Eindeutigkeit eines lokal minimalen Schätzers: Existiert ein lokal minimaler Schätzer in , so ist dieser -fast sicher eindeutig bestimmt.

Wichtige Aussagen

Neben d​en Aussagen für gleichmäßig b​este erwartungstreue Schätzer, d​ie auch entsprechend punktweise, a​lso für l​okal minimale Schätzer gelten, s​ind folgende Aussagen wichtig:

  • Satz von Barankin und Stein: Er charakterisiert die lokal minimalen Schätzer über den Abschluss der Linearkombinationen der Dichtefunktionen der beteiligten Wahrscheinlichkeitsmaße.
  • Chapman-Robbins-Ungleichung: Sie erlaubt eine Abschätzung der Varianz eines Schätzers bezüglich und liefert bei Grenzübergang eine punktweise Version der Cramér-Rao-Ungleichung.

Literatur

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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