Dominierte Verteilungsklasse

Eine dominierte Verteilungsklasse i​st in d​er mathematischen Statistik e​ine Menge v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen, d​ie alle absolut stetig bezüglich e​ines Maßes sind. Statistische Modelle m​it dominierten Verteilungsklassen s​ind einfacher z​u handhaben a​ls solche ohne, d​a die Existenz e​iner Wahrscheinlichkeitsdichte garantiert i​st und d​amit Methoden w​ie die Maximum-Likelihood-Methode angewandt werden können. Außerdem existieren für dominierte Verteilungsklassen g​ut handhabbare Kriterien für Suffizienz u​nd Minimalsuffizienz.

Definition

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ sowie eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesem Messraum. Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ heißt dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn ein σ-endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ gilt, dass

${\displaystyle P\ll \mu }$

gilt. Jedes ${\displaystyle P}$ ist also absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$, das heißt für alle ${\displaystyle A\in \Sigma }$ mit ${\displaystyle \mu (A)=0}$ gilt auch ${\displaystyle P(A)=0}$. Dies wird dann auch mit ${\displaystyle {\mathcal {P}}\ll \mu }$ notiert.

Beispiele

• Per Definition ist die Exponentialfamilie eine dominierte Verteilungsklasse, da sie als genau die Verteilungsklasse definiert ist, die eine vorgegebene Dichte bezüglich eines Maßes hat.
• Definiert man als Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ genau diejenigen Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die eine Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen, so ist auch dies eine dominierte Verteilungsklasse. Dominierendes Maß ist hier das Lebesgue-Maß.
• Ist ${\displaystyle C}$ die Cantor-Verteilung und definiert man mit obigem ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ die neue Verteilungsklasse als ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}={\mathcal {P}}\cup C}$, so ist per se nicht klar, ob ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ eine dominierte Verteilungsklasse ist oder nicht. ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ wird jetzt nicht mehr durch das Lebesque-Maß dominiert, da die Cantor-Verteilung keine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes hat. Nicht klar ist aber, ob es ein anderes σ-endliches Maß gibt, dass ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ dominiert, oder ob ein solches Maß nicht existieren kann und damit die Verteilungsklasse zu einer nicht dominierten Verteilungsklasse macht.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine dominierte Verteilungsklasse, so wird diese Klasse auch immer durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß dominiert. Denn ist ${\displaystyle \mu _{\sigma }}$ ein σ-endliches Maß, das die Verteilungsklasse dominiert, so lässt sich durch

${\displaystyle \mu _{W}(A):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {\mu _{\sigma }(A_{n}\cap A)}{\mu _{\sigma }(A_{n})}}}$

ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren, das die Verteilungsklasse dominiert. Dabei sind die ${\displaystyle A_{n}}$ eine Zerlegung von ${\displaystyle \Omega }$ mit ${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }(A_{n})<\infty }$, wie in der Definition des σ-endlichen Maßes gefordert wird.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine dominierte Verteilungsklasse, so existiert immer ein ${\displaystyle P^{*}}$, so dass ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}={\mathcal {N}}_{P^{*}}}$ und ${\displaystyle P^{*}}$ eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist. Es gilt also

${\displaystyle P^{*}=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}P_{i}{\text{ mit }}\alpha _{i}>0{\text{ und }}\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {P}}}$ die Menge aller ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-Nullmengen. Dieses ${\displaystyle P^{*}}$ spielt eine wichtige Rolle im Satz von Halmos-Savage und einigen aus ihm abgeleiteten Ergebnissen.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine dominierte Verteilungsklasse und ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\otimes n}}$ die Klasse der n-fachen Produktmaße, so ist auch ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\otimes n}}$ dominiert.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dominiert durch ${\displaystyle \mu }$ und ist ${\displaystyle f}$ eine messbare Funktion und sind alle Bildmaße ${\displaystyle P_{f}}$ unter ${\displaystyle f}$ σ-endlich, so ist auch die Verteilungsklasse der Bildmaße ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{f}}$ dominiert von ${\displaystyle \mu _{f}}$.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ separabel bezüglich der Totalvariationsmetrik, so ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ dominiert.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{L}}$ die von ${\displaystyle P}$ erzeugte Lokationsklasse, so ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{L}}$ genau dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn ${\displaystyle P}$ dominiert ist.
• Ist die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ des statistischen Modells separabel und die Verteilungsklasse dominiert, so ist die Verteilungsklasse separabel bezüglich der Totalvariationsmetrik.

Verwendung

Nach d​em Satz v​on Radon-Nikodým existieren für dominierte Verteilungsklassen i​mmer Wahrscheinlichkeitsdichten bezüglich d​es dominierenden Maßes. Diese Existenzaussage ermöglicht b​ei stochastischen Modellen, d​ie mit e​iner dominierten Verteilungsklasse ausgestattet sind, d​ie Anwendung v​on Methoden, d​ie auf Wahrscheinlichkeitsdichten beruhen. Ein Beispiel hierfür i​st die Maximum-Likelihood-Methode.

Außerdem existieren bei dominierten Verteilungsklassen Kriterien, welche die Überprüfung der Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken erleichtern. Die meisten dieser Kriterien bauen auf dem Satz von Halmos-Savage unter Verwendung des oben konstruierten Maßes ${\displaystyle P^{*}}$ auf. Eines dieser Kriterien ist das Neyman-Kriterium, das beispielsweise die Suffizienz der Exponentialfamilie liefert.

Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich auch ableiten, dass für dominierte Verteilungsklassen immer eine minimalsuffiziente σ-Algebra existiert. Sie wird von den Dichten der ${\displaystyle P}$ bezüglich ${\displaystyle P^{*}}$ erzeugt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.