Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Der Fundamentalsatz d​er Variationsrechnung (englisch Fundamental Theorem o​f the Calculus o​f Variations) i​st ein grundlegender Satz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Variationsrechnung u​nd eng verwandt m​it dem weierstraßschen Satz v​om Minimum. Er behandelt d​ie in d​er Variationsrechnung zentrale Frage, u​nter welchen Bedingungen reellwertige Funktionale e​in Minimum annehmen.[1][2][3]

Formulierung des Fundamentalsatzes

Der Fundamentalsatz d​er Variationsrechnung lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[1]

Sei ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und sei darin ${\displaystyle M\subset X}$ eine nichtleere, schwach abgeschlossene und zugleich beschränkte Teilmenge.

Sei weiter ${\displaystyle \phi \colon M\to \mathbb {R} }$ ein schwach unterhalbstetiges Funktional.

Dann nimmt das Funktional ${\displaystyle \phi }$ auf ${\displaystyle M}$ ein Minimum an.

Mit anderen Worten:

Es existiert ein Element ${\displaystyle x_{0}\in M}$ mit

${\displaystyle \phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}}$.

Beweis

Der Darstellung v​on Fučík, Nečas u​nd Souček folgend lässt s​ich der Beweis w​ie folgt führen:[1]

Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian impliziert die Reflexivität des Banachraums ${\displaystyle X}$, dass darin jede beschränkte Folge eine schwach-konvergente Teilfolge besitzt.

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in ${\displaystyle M}$ eine Folge von Elementen ${\displaystyle x_{n}\in M\;(n\in \mathbb {N} )}$, die einerseits in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ den Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}}$

bildet und die andererseits in ${\displaystyle M}$ schwach gegen ein Element ${\displaystyle x_{0}\in M}$ konvergiert.

Dieses Element ${\displaystyle x_{0}}$ ist die gesuchte Minimumstelle für ${\displaystyle \phi }$.

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von ${\displaystyle \phi }$ ergibt sich die folgende Ungleichungskette:

${\displaystyle \inf _{x\in M}{\phi (x)}\leq \phi (x_{0})\leq \liminf _{n\to \infty }{\phi (x_{n})}=\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}}$

Das bedeutet jedoch

${\displaystyle \phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}}$

und d​er Satz i​st bewiesen.

Folgerungen aus dem Fundamentalsatz

An d​en Fundamentalsatz lassen s​ich zwei direkte Folgerungen anschließen:[1]

(I)

(a) Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort ${\displaystyle M}$ eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des reflexiven ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachraums ${\displaystyle X}$ und das Funktional ${\displaystyle \phi }$ stetig und konvex ist.

Das heißt: In diesem Falle hat ${\displaystyle \phi }$ eine Minimumstelle ${\displaystyle x_{0}\in M}$.

(b) Ist dann ${\displaystyle \phi }$ darüber hinaus noch strikt konvex, so ist die Minimumstelle ${\displaystyle x_{0}\in M}$ sogar eindeutig bestimmt.

(II)

(a) Ist ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$ ein schwach unterhalbstetiges und zugleich koerzitives Funktional des reflexiven ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachraums ${\displaystyle X}$, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.

Das bedeutet:

Es ist dann

${\displaystyle \inf _{x\in M}{\phi (x)}>{-\infty }}$

sowie

${\displaystyle \phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}}$

für mindestens ein ${\displaystyle x_{0}\in X}$

(b) Im Falle, dass ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$ koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung (I) in entsprechender Weise gültig.

Anmerkung zum Beweis der Folgerungen

1. Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von ${\displaystyle M}$ ist das Funktional ${\displaystyle \phi }$ genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede reelle Zahl ${\displaystyle a}$ die Urbildmenge ${\displaystyle {\phi }^{-1}(]\infty ,a])}$ des zugehörigen Intervalls ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ schwach abgeschlossen ist.[1]
2. Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.[1]

Andere Version des Fundamentalsatzes

Eine e​twas andere, jedoch verwandte Version d​es Fundamentalsatzes i​st die folgende:[4]

Sei ${\displaystyle M}$ ein nichtleerer Hausdorff-Raum und sei weiter

${\displaystyle \phi \colon M\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ein unterhalbstetiges Funktional.

Weiterhin gebe es eine reelle Zahl ${\displaystyle r}$ mit:

(i) ${\displaystyle M_{\phi \;,\;r}\colon =\{x\in M\mid \phi (x)\leq r\}\neq \emptyset }$

(ii) ${\displaystyle M_{\phi \;,\;r}}$ ist folgenkompakt.

Dann gilt:

Es existiert ein Element ${\displaystyle x_{0}\in M}$ mit

${\displaystyle \phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}}$.

Siehe auch

• Maximumprinzip von Bauer
• Minimallösung
• Satz vom Minimum und Maximum

Literatur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5 (MR0687073).
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes. (= Texts and Monographs in Physics). Verlag=Springer Verlag, Berlin 1992 (MR1230382).
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903).
• Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: Einführung in die Variationsrechnung. Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts Úvod do variačního počtu (= Teubner-Texte zur Mathematik). Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1977.

Einzelnachweise

1. Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: Einführung in die Variationsrechnung. 1977, S. 16–19.
2. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 1 ff.
3. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. 1992, S. 1 ff.
4. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 16 ff.