Parameterfunktion (Statistik)

Eine Parameterfunktion i​st in d​er mathematischen Statistik e​ine Funktion, d​ie bei e​inem parametrischen statistischen Modell j​edem Parameter d​er Familie v​on Wahrscheinlichkeitsverteilungen e​inen Funktionswert zuordnet, d​er dann mittels e​ines Punktschätzers geschätzt werden s​oll oder v​on einem Bereichsschätzer überdeckt werden soll. Meist übernimmt d​ie Parameterfunktion n​ur die technische Aufgabe, d​en Elementen d​er Parametermenge Elemente d​es Entscheidungsraumes zuzuordnen. Im Rahmen d​er Erwartungstreue e​ines Schätzers i​st die Wahl d​er Parameterfunktion a​ber durchaus relevant, d​a nicht j​ede Parameterfunktion erwartungstreu geschätzt werden kann.

Definition

Gegeben sei ein parametrisches statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ mit Parametermenge ${\displaystyle \Theta }$ sowie ein Entscheidungsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$. Dann heißt eine Funktion ${\displaystyle g\colon \Theta \to \Omega }$ Parameterfunktion.

Beispiel

Gegeben s​ei das statistische Modell

${\displaystyle (\{0,1\}^{100},{\mathcal {P}}(\{0,1\})^{\otimes 100},\operatorname {Ber} _{\vartheta }^{\otimes 100})}$,

das den 100-fachen Münzwurf modelliert und die Parametermenge ${\displaystyle \Theta =[0,1]}$ besitzt. Standardmäßig wählt man dann meist als Parameterfunktion

${\displaystyle g(\vartheta )=\vartheta }$,

also als Entscheidungsraum ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ versehen mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,1])}$. Jetzt kann man mit Punktschätzern wie dem Stichprobenmittel versuchen, den Wert der Parameterfunktion zu schätzen, der in diesem Fall mit dem Wert des Parameters identisch ist. Eine alternative Parameterfunktion wäre beispielsweise

${\displaystyle g(\vartheta )=4\vartheta ^{2}}$

in den Entscheidungsraum ${\displaystyle \Omega =[0,4]}$ versehen mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,4])}$. Jetzt kann man wieder versuchen, den Wert der Parameterfunktion zu schätzen. Punktschätzer wie das Stichprobenmittel, die sich im obigen Fall als gut erwiesen haben, müssen in diesem Fall aber nicht auch gut sein. So hängt ein Schätzer immer auch von der verwendeten Parameterfunktion ab.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.