Satz von Barankin und Stein

Der Satz v​on Barankin u​nd Stein i​st ein mathematischer Satz d​er Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Er beschreibt d​ie Struktur lokal minimaler Schätzer u​nd kann s​omit als e​ine Spezialisierung d​es Satzes v​on Lehmann-Scheffé betrachtet werden, d​er die Struktur gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer beschreibt.

Der Satz i​st nach Charles Stein u​nd Edward William Barankin benannt.

Aussage

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$. Sei ein festes ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ ausgewählt. Des Weiteren dominiere ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ die Verteilungsklasse ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$, das heißt jedes ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ besitzt eine Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\vartheta }:={\frac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}}$

bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$. Jede dieser Dichtefunktionen sei aus ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}}):=L^{2}(X,{\mathcal {A}},P_{\vartheta _{0}})}$, der Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ (siehe Lp-Raum).

Sei ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion ${\displaystyle g}$ und sei

${\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$. Des Weiteren sei

${\displaystyle \operatorname {span} (A)}$

die lineare Hülle der Funktionen in ${\displaystyle A}$ und

${\displaystyle {\overline {B}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}}$

den Abschluss der Menge ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$.

Satz

Der Satz von Barankin und Stein lautet nun: Ein ${\displaystyle T\in D_{g}(\vartheta _{0})}$ ist genau dann lokal optimal in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$, wenn

${\displaystyle T\in {\overline {\operatorname {span} \left(\{f_{\vartheta }\colon \vartheta \in \Theta \}\right)}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}}$

ist.

Beweisskizze

Der Beweis beruht im Kern auf Orthogonalitätsargumenten im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$. Mit der Notation ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\vartheta }=\operatorname {span} f_{\vartheta }}$ und den Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot$ ;\cdot \rangle _{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}} ist

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(T)=0\iff E_{\vartheta _{0}}(Tf_{\vartheta })\iff \langle f_{\vartheta };T\rangle _{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}=0\iff T\in {\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }}$.

Demnach gilt für ${\displaystyle D_{0}(\vartheta _{0})}$, die Menge aller Nullschätzer mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$

${\displaystyle D_{0}(\vartheta _{0})=\bigcap _{\vartheta \in \Theta }{\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }}$.

Nach der Kovarianzmethode ist aber ${\displaystyle T}$ genau dann lokal minimal, wenn ${\displaystyle T\in D_{0}(\vartheta _{0})^{\perp }}$ ist. Da in Hilberträumen für das orthogonale Komplement von Unterräumen ${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}U_{i}^{\perp }\right)^{\perp }={\overline {\operatorname {span} (U_{i})}}}$

gilt, folgt

${\displaystyle D_{0}(\vartheta _{0})^{\perp }=\left(\bigcap _{\vartheta \in \Theta }{\mathcal {L}}_{\vartheta }^{\perp }\right)^{\perp }={\overline {\operatorname {span} \left(\{f_{\vartheta }\colon \vartheta \in \Theta \}\right)}}^{L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}}$.

Mittels d​er obigen Aussage über d​ie Kovarianzmethode f​olgt damit d​er Satz.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.