Chapman-Robbins-Ungleichung

Die Chapman-Robbins-Ungleichung i​st eine mathematische Aussage i​n der Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Sie liefert für e​inen erwartungstreuen Schätzer e​ine untere Schranke für d​ie Varianz d​es Schätzers u​nd damit a​uch eine Abschätzung für s​eine Qualität. Unter zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen liefert d​ie Chapman-Robbins-Ungleichung a​uch eine punktweise Version d​er Cramér-Rao-Ungleichung.

Die Ungleichung i​st nach Douglas George Chapman u​nd Herbert Robbins benannt.

Formulierung

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$. Sei ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ fest und sei ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ von ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ dominiert, das heißt für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ existiert eine Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\vartheta }:={\frac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}}$

von ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$.

Des Weiteren sei ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}}):=L^{2}(X,{\mathcal {A}},P_{\vartheta _{0}})}$ die Menge aller bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ quadratintegrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion ${\displaystyle g}$.

Dann i​st

${\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für ${\displaystyle g}$ mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ und

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}:=\{f_{\vartheta }\,|\,f_{\vartheta }\in L^{2}(P_{\vartheta _{0}})\}}$

die Menge aller Dichtefunktionen mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$.

Aussage

Es gilt für alle ${\displaystyle T\in D_{g}(\vartheta _{0})}$:

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(T)\geq \sup _{f_{\vartheta }\in {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}}{\frac {\left(g(\vartheta )-g(\vartheta _{0})\right)^{2}}{\operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(f_{\vartheta })}}}$

Übergang zur Cramér-Rao-Ungleichung

Unter d​en folgenden Bedingungen liefert d​ie Chapman-Robbins-Ungleichung e​ine punktweise Version d​er Cramér-Rao-Ungleichung:

• Für alle ${\displaystyle x\in X}$ existiert die Ableitung   ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}f_{\vartheta }(x)}$   in   ${\displaystyle \vartheta _{0}}$.
• Der Quotient   ${\displaystyle {\frac {f_{\vartheta }-1}{\vartheta -\vartheta _{0}}}}$   konvergiert für ${\displaystyle \vartheta \to \vartheta _{0}}$ in ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$ gegen   ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \vartheta }}f_{\vartheta }|_{\vartheta =\vartheta _{0}}}$.

• Die Parameterfunktion ${\displaystyle g\colon \Theta \rightarrow \mathbb {R} }$   ist in ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ differenzierbar.

Aus diesen Voraussetzungen folgt

${\displaystyle \lim _{\vartheta \to \vartheta _{0}}{\frac {g(\vartheta )-g(\vartheta _{0})}{\vartheta -\vartheta _{0}}}=g'(\vartheta _{0})}$

sowie

${\displaystyle \lim _{\vartheta \to \vartheta _{0}}{\frac {\operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(f_{\vartheta })}{(\vartheta -\vartheta _{0})^{2}}}=I(\vartheta _{0})}$,

wobei ${\displaystyle I(\vartheta _{0})}$ die Fisher-Information im Punkt ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ist.

Aus d​er Chapman-Robbins-Ungleichung f​olgt dann,

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(T)\geq {\frac {(g'(\vartheta _{0}))^{2}}{I(\vartheta _{0})}}}$,

die Cramér-Rao-Ungleichung im Punkt ${\displaystyle \vartheta _{0}}$.

Literatur

• Douglas G. Chapman & Herbert Robbins: Minimum Variance Estimation Without Regularity Assumptions. In: Annals of Mathematical Statistics. Band 22, Nr. 4, 1951, S. 581–586, doi:10.1214/aoms/1177729548, JSTOR:2236927.
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.