Levi-Zerlegung (Lie-Gruppe)

Im mathematischen Gebiet d​er Theorie d​er Lie-Gruppen liefert d​ie Levi-Zerlegung e​ine Zerlegung v​on Lie-Gruppen a​ls semidirektes Produkt e​iner auflösbaren u​nd einer reduktiven Lie-Gruppe. Sie ergibt s​ich aus d​er Levi-Zerlegung v​on Lie-Algebren u​nd dient i​n der Regel dazu, d​as Studium allgemeinerer Lie-Gruppen a​uf die Untersuchung halbeinfacher Lie-Gruppen z​u reduzieren.

Sie i​st nach Eugenio Elia Levi benannt.

Levi-Zerlegung und Levi-Untergruppe

Es sei eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und ihr Radikal, d. h. ein maximaler abgeschlossener, auflösbarer Normalteiler. Dann gibt es eine abgeschlossene, einfach zusammenhängende Untergruppe mit , so dass die Abbildung

ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit auf ist.

Die Zerlegung a​ls semidirektes Produkt

heißt Levi-Zerlegung (auch Levi–Mal'tsev Zerlegung oder Chevalley-Zerlegung), die Untergruppe heißt Levi-Untergruppe. Die Levi-Zerlegung ist nicht eindeutig bestimmt.

Wenn nicht einfach zusammenhängend ist, muss die Levi-Untergruppe im Allgemeinen keine abgeschlossene Untergruppe sein. Sie ist aber stets abgeschlossen, wenn eine (nicht notwendig einfach zusammenhängende) lineare Gruppe (d. h. eine abgeschlossene Untergruppe von ) oder allgemeiner eine über oder definierte algebraische Gruppe ist.

Eigenschaften

  • Die Levi-Untergruppe ist eine reduktive Gruppe.
  • Eine Untergruppe ist genau dann die Levi-Untergruppe einer Levi-Zerlegung, wenn sie eine maximale reduktive Untergruppe ist.
  • Jede reduktive Untergruppe von ist zu einer Untergruppe von konjugiert.
  • Insbesondere sind alle Levi-Untergruppen zueinander konjugiert.

Satz von Mostow

Der Satz von Mostow besagt, dass es auch für jede zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik eine Levi-Zerlegung gibt. Für algebraische Gruppen über Körpern der Charakteristik ist das im Allgemeinen nicht richtig.

Levi-Mostow-Zerlegung von Gittern

Es sei eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Levi-Untergruppe keinen kompakten Faktor hat. Dann gibt es in jedem Gitter eine Untergruppe von endlichem Index , die sich stetig in ein Gitter deformieren lässt, das ein semidirektes Produkt des Gitters mit einem Gitter ist.[1]

Literatur

  • E.E. Levi: Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. In: Atti. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 40, 1905, S. 551–565 (italienisch).
  • A.I. Mal'tsev: On the representation of an algebra as a direct sum of the radical and a semi-simple subalgebra. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR, 36, 1942, S. 2, 42–45 (russisch)
  • N. Jacobson: Lie algebras. Republication of the 1962 original. Dover Publications, New York 1979, ISBN 0-486-63832-4.
  • A.A. Kirillov: Elements of the theory of representations. Translated from the Russian by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 220. Springer-Verlag, Berlin / New York 1976.
  • M.A. Naĭmark, A.I. Štern: Theory of group representations. Translated from the Russian by Elizabeth Hewitt. Translation edited by Edwin Hewitt. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 246. Springer-Verlag, New York 1982, ISBN 0-387-90602-9.

Einzelnachweise

  1. Theorem 2.3 in: E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, O. V. Shvartsman: Discrete subgroups of Lie groups. In: Encyclopaedia Math. Sci., 21, Springer, Berlin 2000. Lie groups and Lie algebras, II, S. 1–123, 217–223,
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