Algebraische Unabhängigkeit

In d​er abstrakten Algebra i​st die algebraische Unabhängigkeit e​ine Eigenschaft v​on Elementen e​iner transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, d​ass diese Elemente k​eine nichttriviale Polynomgleichung m​it Koeffizienten i​m Grundkörper erfüllen.

Definition

Seien ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ Elemente von ${\displaystyle L}$. Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle n}$ Variablen und Koeffizienten in ${\displaystyle K}$, d. h. ${\displaystyle f\in K\lbrack X_{1},\ldots ,X_{n}\rbrack \setminus \{0\}}$, so dass

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}$,

dann heißen ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ algebraisch abhängig. Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.[1]

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle L}$ erweitert werden, indem man eine Menge ${\displaystyle M}$ algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.

Ähnlich z​um in Vektorräumen verwendeten Konzept d​er Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches d​en Begriff d​er linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet m​an manchmal b​ei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d. h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome m​it Koeffizienten i​m Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, i​hre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad d​er Erweiterung.

Zusammenhang mit algebraischen Elementen

Ist ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, so ist ein Element aus ${\displaystyle L}$ genau dann über dem Körper ${\displaystyle K}$ algebraisch abhängig, wenn es ein algebraisches Element über ${\displaystyle K}$ ist, denn nach Definition ist es genau dann Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus ${\displaystyle K}$. Damit ist ein Element aus ${\displaystyle L}$ genau dann algebraisch unabhängig über ${\displaystyle K}$, wenn es ein transzendentes Element über ${\displaystyle K}$ ist.

Beispiele

• Zueinander bezüglich der Multiplikation inverse Elemente sind stets algebraisch abhängig, da sie Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle XY-1}$ sind.
• Die reellen Zahlen ${\displaystyle \pi +1}$ und ${\displaystyle \pi ^{2}}$ (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, denn sie erfüllen mit ${\displaystyle X=\pi +1}$ und ${\displaystyle Y=\pi ^{2}}$ die Polynomgleichung ${\displaystyle Y-(X-1)^{2}=0}$.
• Ebenso sind ${\displaystyle \pi }$ und die imaginäre Einheit ${\displaystyle i}$ algebraisch abhängig über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, denn mit ${\displaystyle X=\pi }$ und ${\displaystyle Y=i}$ gilt ${\displaystyle 0\cdot X+Y^{2}+1=0}$. Das liegt natürlich daran, dass die Menge ${\displaystyle \{i\}}$ allein schon algebraisch abhängig ist. Obwohl ${\displaystyle \pi }$ und ${\displaystyle i}$ algebraisch abhängig sind, gehört weder ${\displaystyle \pi }$ zu ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ noch ${\displaystyle i}$ zu ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$.

Beispiele von komplexen Zahlen, die über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden, obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele (genauer: kontinuum-viele) über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \pi }$ es sind. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:

• Im rationalen Funktionenkörper ${\displaystyle \mathbb {Q} (X,Y)}$ in zwei Unbestimmten ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ über den rationalen Zahlen sind die Elemente ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ algebraisch unabhängig, denn nach Definition dieses Körpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen, das an der Stelle ${\displaystyle (X,Y)}$ gleich 0 ist, das Nullpolynom.

• Ein größeres Beispiel findet man im Funktionenkörper ${\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Hier sind alle elementarsymmetrischen Polynome ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ algebraisch unabhängig.[2]

Einzelnachweise

1. Karpfinger, Meyberg: Algebra. 2013, 23.1.1.
2. Karpfinger, Meyberg: Algebra. 2013, 31.2.

Literatur

• A. B. Shidlovskii: Algebraic independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen-Ringe-Körper. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3, Kap. 23, doi:10.1007/978-3-8274-3012-0.