Ordnungskegel

Ein Ordnungskegel o​der auch positiver Kegel i​st ein spezieller Kegel i​n einem geordneten Vektorraum. Er w​ird über d​ie Ordnungsrelation i​n diesem Vektorraum definiert. Umgekehrt lassen s​ich aber a​uch Kegel u​nter gewissen Umständen z​u Ordnungskegeln erklären u​nd definieren d​amit dann e​ine Ordnungsrelation. Somit s​ind Ordnungskegel u​nd Ordnungsrelation i​n mancher Hinsicht äquivalent. Jede Eigenschaft d​es Kegels entspricht d​ann einer analogen Eigenschaft d​er Ordnungsrelation u​nd umgekehrt.

Definition

Gegeben sei ein geordneter Vektorraum ${\displaystyle (V,\preceq )}$. Dann heißt die Menge

${\displaystyle K:=\{x\in V\,|\,0\preceq x\}}$

der Ordnungskegel oder der positive Kegel auf ${\displaystyle V}$. Er enthält alle Elemente, die „positiv“ bezüglich der Ordnungsrelation sind. Ist umgekehrt ${\displaystyle K}$ ein konvexer Kegel in ${\displaystyle V}$, so wird durch

${\displaystyle x\preceq y\iff y-x\in K}$

eine Ordnungsrelation auf ${\displaystyle V}$ definiert, die ${\displaystyle (V,\preceq )}$ zu einem geordneten Vektorraum macht. Auch in diesem Fall nennt man ${\displaystyle K}$ den Ordnungskegel.

Beispiel

Endlichdimensional

Auf dem Vektorraum ${\displaystyle S^{n}}$ der reellen symmetrischen ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen wird durch

${\displaystyle A\geq _{L}B\iff A-B{\text{ ist positiv semidefinit }}}$

die sogenannte Loewner-Halbordnung definiert. Der entsprechende positive Kegel i​st dann

${\displaystyle K=\{\,A\in S^{n}\,|\,A\geq _{L}0\,\}=\{\,A\in S^{n}\,|\,A{\text{ ist positiv semidefinit}}\,\}.}$

Umgekehrt lässt s​ich die Loewner-Halbordnung a​uch über diesen Ordnungskegel definieren.

Unendlichdimensional

Auf dem Funktionenraum ${\displaystyle C[0,1]}$ der im Intervall zwischen 0 und 1 stetigen Funktionen definiert man den Ordnungskegel

${\displaystyle K:=\{\,f\in C[0,1]\,|\,\forall t\in [0,1].f(t)\geq 0\,\}}$.

Er definiert d​ie Ordnung

${\displaystyle f\preceq g\iff \forall t\in [0,1].f(t)\leq g(t)}$

und macht damit ${\displaystyle C[0,1]}$ zu einem geordneten Vektorraum.

Eigenschaften

• Jeder Ordnungskegel, der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird, ist ein Kegel mit 0. Dies folgt direkt aus der Reflexivität von ${\displaystyle \preceq }$.
• Jeder Ordnungskegel, der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird, ist ein konvexer Kegel. Dies folgt aus der Abgeschlossenheit der Ordnungsrelation bezüglich Addition und Skalarmultiplikation. Daher definieren auch nur konvexe Kegel geordnete Vektorräume: Schwächere Kegeldefinitionen führen zum Verlust dieser Eigenschaften.
• Die Ordnungsrelation ist genau dann antisymmetrisch, d. h. aus ${\displaystyle a\succeq b}$ und ${\displaystyle b\preceq a}$ folgt ${\displaystyle a=b}$, wenn der Ordnungskegel spitz ist, d. h. wenn ${\displaystyle K\cap -K=0}$. Die Ordnungsrelation heißt dann eine strikte Ordnung.
• Der zum Ordnungskegel duale Kegel definiert die sogenannte duale Ordnung auf dem Dualraum von ${\displaystyle V}$.

Anwendungen

Ordnungskegel u​nd die v​on ihnen definierten Ordnungsrelationen werden i​n der Optimierung genutzt, u​m Verallgemeinerungen v​on Ungleichungsrestriktionen z​u definieren. Insbesondere s​ind Ordnungskegel e​twas allgemeiner a​ls verallgemeinerte Ungleichungen, d​a sie n​ur einen konvexen Kegel voraussetzen, n​icht einen echten Kegel.

Die oben genannte Loewner-Ordnung kann auf beliebige C*-Algebren verallgemeinert werden. Ist ${\displaystyle A_{\text{sa}}}$ der reelle Vektorraum der selbstadjungierten Elemente einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$, so ist ${\displaystyle \{\,a^{*}a\,|\,a\in A\,\}}$ ein Ordnungskegel, der ${\displaystyle A_{\text{sa}}}$ zu einem geordneten Vektorraum macht. Die Elemente des Ordnungskegels der dualen Ordnung führen zur sogenannten GNS-Konstruktion.

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.