Konische Hülle

Die konische Hülle, manchmal a​uch positive Hülle genannt, i​st ein spezieller Hüllenoperator, d​er jeder Teilmenge e​ines Vektorraumes d​en kleinsten konvexen Kegel zuordnet, d​er diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung i​n der Theorie d​er mathematischen Optimierung, insbesondere i​n der linearen Optimierung.

Definition

Gegeben sei ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle X}$ eine beliebige Teilmenge von ${\displaystyle V}$. Dann heißt

${\displaystyle \operatorname {pos} (X):=\bigcap _{X\subseteq {\mathcal {K}} \atop {\mathcal {K}}{\text{ ist konvexer Kegel }}}{\mathcal {K}}}$

die konische Hülle oder auch positive Hülle von ${\displaystyle X}$. Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der ${\displaystyle X}$ enthält.

Äquivalent d​azu ist d​ie Definition

${\displaystyle \operatorname {pos} (X):=\left\{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\,|\,n\in \mathbb {N} ;x_{i}\in X;\lambda _{i}\geq 0\right\}}$.

Bemerkungen

• Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume definieren, solange ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ein geordneter Körper ist.
• Die Notation ${\displaystyle \operatorname {pos} (X)}$ wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise findet sich auch die Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {cone} (X)}$. Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten (gewöhnlichen) Kegel, der ${\displaystyle X}$ enthält und wird dann Kegelhülle genannt.

Eigenschaften

• Die konische Hülle ist die kleinste Menge, die abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen der Elemente von ${\displaystyle X}$ ist. Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung.
• ${\displaystyle \operatorname {pos} }$ ist ein Hüllenoperator, es gilt also für ${\displaystyle X,Y\subset V}$

• ${\displaystyle X\subset \operatorname {pos} (X)}$,
• ${\displaystyle X\subset Y\implies \operatorname {pos} (X)\subset \operatorname {pos} (Y)}$,
• ${\displaystyle \operatorname {pos} (\operatorname {pos} (X))=\operatorname {pos} (X)}$.

• Es gilt ${\displaystyle \operatorname {pos} (X)=\operatorname {cone} (\operatorname {conv} (X))=\operatorname {conv} (\operatorname {cone} (X))}$. Hierbei ist ${\displaystyle \operatorname {cone} }$ die Kegelhülle und ${\displaystyle \operatorname {conv} }$ die konvexe Hülle.

Endlich erzeugter Kegel

Ein Kegel ${\displaystyle K}$ heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge ${\displaystyle X}$ gibt, so dass

${\displaystyle K=\operatorname {pos} (X)}$

ist. Ein Kegel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein polyedrischer Kegel ist.

Beispiele

Sind im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ die zwei Vektoren

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$.

gegeben, s​o ist

${\displaystyle \operatorname {pos} (v_{1},v_{2})=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,,\,x_{1}\geq 0,\,x_{2}\geq 0\}}$,

da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant) als Positivkombination von ${\displaystyle v_{1}}$ oder ${\displaystyle v_{2}}$ darstellen lässt.

Sind die Monome ${\displaystyle x^{2},x,1}$ gegeben, so ist

${\displaystyle \operatorname {pos} (x^{2},x,1)=\{\lambda _{2}x^{2}+\lambda _{1}x+\lambda _{0}\}}$

für ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$. Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.

Literatur

• Peter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung, Springer, 2013, ISBN 978-3-528-07290-2