Jones-Formalismus

Der Jones-Formalismus beschreibt lineare optische Abbildungen unter Berücksichtigung der Polarisation. Er wurde nach R. Clark Jones benannt, der diese Darstellung 1941 einführte. Das Licht wird als ebene elektromagnetische Welle repräsentiert, mit einem komplexwertigen zweidimensionalen Jones-Vektor, der Amplitude der Welle, und kann daher genutzt werden um optische Effekte wie Interferenz zu beschreiben. Damit stellt der Formalismus eine Verbesserung ggü. den Stokes-Parametern dar. Im Gegensatz dazu ist der Jones-Formalismus jedoch auf vollständig polarisiertes, kohärentes Licht begrenzt. Die Abbildungen werden durch Jones-Matrizen dargestellt. Mit ihnen ermöglicht der Jones-Formalismus die Modellierung und Analyse optischer Systeme, in denen ein Lichtstrahl eine Kaskade von optischen Bauelementen durchläuft.

Mathematische Beschreibung

Beispiele für normierte Jones-Vektoren[1][2][3]

Polarisation	Polarisationsrichtung zu verschiedenen Zeiten bei z = 0	Jones-Vektor	Bra-Ket-Notation
linear in x-Richtung		${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
linear in y-Richtung		${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
linear in +45°-Richtung		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$
links zirkular		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +\mathrm {i} |V\rangle )}$
rechts zirkular		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -\mathrm {i} |V\rangle )}$

In komplexer Schreibweise h​at die Elongation e​iner monochromatischen ebenen Welle i​n einem kartesischen Koordinatensystem d​ie Orts- u​nd Zeitabhängigkeit

${\displaystyle {\vec {E}}(z,t)={\begin{pmatrix}E_{x}e^{\mathrm {i} (kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{y}e^{\mathrm {i} (kz-\omega t+\phi _{y})}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{x}e^{\mathrm {i} \phi _{x}}\\E_{y}e^{\mathrm {i} \phi _{y}}\end{pmatrix}}e^{\mathrm {i} (kz-\omega t)}={\begin{pmatrix}{\tilde {E}}_{x}\\{\tilde {E}}_{y}\end{pmatrix}}e^{\mathrm {i} (kz-\omega t)}}$,

wobei als Ausbreitungsrichtung die ${\displaystyle z}$-Achse gewählt ist. Die reellen Zahlen ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle \omega }$ bezeichnen die Kreiswellenzahl bzw. die Kreisfrequenz der Welle. Die Größen ${\displaystyle E_{x},E_{y}}$ sind die reellen Amplituden. Die komplexen Zahlen ${\displaystyle {\tilde {E}}_{x}}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{y}}$ beschreiben dann Phase und Amplitude der ${\displaystyle x}$- bzw. ${\displaystyle y}$-Komponente des Feldes. Der Jones-Vektor dieser Welle ist dann

${\displaystyle {\vec {J}}={\begin{pmatrix}{\tilde {E}}_{x}\\{\tilde {E}}_{y}\end{pmatrix}}}$,

das heißt, d​ie explizite Raum- u​nd Zeitabhängigkeit d​er Amplitude w​ird bei d​er Beschreibung d​er Welle unterdrückt. Des Weiteren werden i​n der Darstellung e​ines Jones-Vektors üblicherweise dessen Komponenten a​uf 1 normalisiert u​nd ein Vorfaktor eingeführt, d​amit die Intensität unverändert bleibt (siehe Beispiele).

Der Effekt eines optischen Bauelements auf die Lichtwelle lässt sich durch die Wirkung einer komplexwertigen 2×2-Matrix ${\displaystyle \mathbf {M} }$ auf den Jones-Vektor beschreiben, wenn das Element keine nichtlinearen Eigenschaften hat,

${\displaystyle {\vec {J}}_{\rm {out}}={\mathbf {M} }{\vec {J}}_{\rm {in}}.}$

Durchläuft der Lichtstrahl ein System optischer Elemente mit Jones-Matrizen ${\displaystyle \mathbf {M} _{1},\ldots ,\mathbf {M} _{n}}$, so lässt sich der Gesamteffekt des optischen Systems durch eine Jones-Matrix

${\displaystyle {\mathbf {M} }={\mathbf {M} }_{n}\cdot {\mathbf {M} }_{n-1}\cdot \ldots \cdot {\mathbf {M} }_{1}}$

beschreiben (sofern Mehrfachreflexionen zwischen d​en einzelnen Komponenten k​eine Rolle spielen). Die Eigenpolarisationen e​ines optischen Systems entsprechen d​en Eigenvektoren seiner Jones-Matrix. Der Jones-Vektor eignet s​ich nur für d​ie Beschreibung vollständig polarisierten Lichts, u​nd entsprechend können n​ur optische Komponenten, d​ie keine depolarisierenden Eigenschaften besitzen, d​urch Jones-Matrizen charakterisiert werden. Sind Depolarisations-Effekte v​on Bedeutung, m​uss auf d​en aufwändigeren Stokes-Formalismus zurückgegriffen werden.

Jones-Matrizen können z. B. lineare Polarisationen oder zirkulare Polarisationen (Rotation der Polarisationsebene) und Verzögerungsplatten beschreiben. Bei der ${\displaystyle \lambda }$-Viertel Platte wird z. B. eine Polarisationsrichtung gegenüber der dazu senkrechten um eine Viertel Wellenlänge verzögert. Bei zirkularer Polarisation und Verzögerung ändert sich der Betrag der Gesamtamplitude nicht, und die Matrizen sind unitär, es gilt ${\displaystyle M^{-1}=M^{\dagger }:={\overline {M}}^{\rm {T}}}$ (dabei bedeutet ${\displaystyle {\overline {M}}}$ komplex konjugiert und T die Transposition der Matrix) und ${\displaystyle {|M\cdot {\vec {J}}|}^{2}=({\vec {J}}^{*T}\cdot M^{\dagger }M\cdot {\vec {J}})=({\vec {J}}^{*T}\cdot {\vec {J}})={|{\vec {J}}|}^{2}=J^{2}}$. Bei linearer Polarisation kann sich der Betrag der Gesamtamplitude ändern, die zugehörigen Matrizen sind nicht unitär.

Beispiele für Jones-Matrizen[3]

Optisches Element	Jones-Matrix
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht in H-Stellung	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in V-Stellung	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in +45°-Stellung	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, in −45°-Stellung	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}$
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, um den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ im mathematisch positiven Drehsinn aus der H-Stellung gedreht	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\varphi &\cos \varphi \sin \varphi \\\sin \varphi \cos \varphi &\sin ^{2}\varphi \end{pmatrix}}}$
Polarisator für links zirkular polarisiertes Licht	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &1\end{pmatrix}}}$
Polarisator für rechts zirkular polarisiertes Licht	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\mathrm {i} \\-\mathrm {i} &1\end{pmatrix}}}$
λ/2-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}=e^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{\mathrm {i} \pi }\end{pmatrix}}=-\mathrm {i} \;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
λ/4-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1-\mathrm {i} &0\\0&1+\mathrm {i} \end{pmatrix}}=e^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}\end{pmatrix}}=e^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$

Gemäß der üblichen Sprechweise in der Optik, bezeichnen „H“ wie horizontal und „V“ wie vertikal die Orientierung in die x- und y-Richtung. Wenn es nicht auf die Interferenz mit anderen Strahlen ankommt, kann ein gemeinsamer (komplexer) Phasen-Vorfaktor ausgeklammert werden, und die Matrizen werden häufig so angegeben, dass die erste Diagonalstelle reell ist.

Gedrehte Bauteile

Wird e​in optisches Bauteil gegenüber seiner optischen Achse u​m den Winkel θ gedreht, s​o ist d​ie Jones-Matrix für d​as gedrehte Bauteil M(θ). Diese Matrix erhält m​an aus d​er Matrix M für d​as ungedrehte Bauteil d​urch folgende Transformation:

${\displaystyle M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta ),}$

Dabei ist ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Übergang zur Quantenmechanik

Man kann die reine x- und reine y-Polarisation als Orthonormalbasis auffassen und diese in Bra-Ket-Schreibweise darstellen, wie oben in der Tabelle angedeutet. Ein Polarisationsfilter lässt sich dann zum Beispiel als quantenmechanischer Operator auffassen, der auf einen Eigenzustand des Systems (reine x- oder y-Polarisation) projiziert (Kollaps der Wellenfunktion). Der entsprechende Projektor wäre für einen x-Polarisationsfilter: ${\displaystyle |H\rangle \langle H|}$ Der Eigenwert entspricht dann dem Anteil des einfallenden Lichtes, das die entsprechende Polarisation aufweist. Die Observable ist die Polarisation in x-Richtung. Analog lassen sich die oben angegebenen Filter für zirkular polarisiertes Licht konstruieren.

In der Bra-Ket-Darstellung lässt sich auch ein Basiswechsel leicht ausführen. Die Basiswechselmatrix ${\displaystyle S}$, die von der x/y-Basis in die Darstellung durch Superposition von gegensinnig zirkular polarisierten Wellen überführt hat folgende Gestalt.

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}\langle H|R\rangle &\langle H|L\rangle \\\langle V|R\rangle &\langle V|L\rangle \end{pmatrix}}}$

Solche Überlegungen bieten e​inen anschaulichen Bezug z​u den s​onst eher abstrakten Formalismen d​er Quantenmechanik.[4]

Literatur

• R. Clark Jones: New calculus for the treatment of optical systems. I. Description and discussion of the calculus. In: Journal of the Optical Society of America. Band 31, Nr. 7, 1941, S. 488–493, doi:10.1364/JOSA.31.000488.
• R. M. A. Azzam, N. M. Bashara: Ellipsometry and Polarized Light. North-Holland, Amsterdam (u. a.) 1987, ISBN 0-7204-0694-3.
• A. Gerrard, J. Burch: Introduction to Matrix Methods in Optics. John Wiley, 1975 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Frank Pedrotti, Leno Pedrotti: Introduction to Optics. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-501545-6 (Kapitel 14: Matrix Treatment of Polarization).

Weblinks

• Jones Matrix bei Science World

Einzelnachweise

1. Frank L. Pedrotti, Leno S. Pedrotti: Introduction to Optics. Prentice-Hall, 1993, ISBN 0-13-016973-0, S. 288.
2. Eugene Hecht: Optics. 4. Auflage. Addison-Wesley Longman, Amsterdam 2001, ISBN 0-8053-8566-5, S. 375.
3. Bei der Darstellung der rechts- und linkszirkularen Polarisation hat man zu beachten, dass hier für die Ausbreitung der ebenen Welle ein Faktor ${\displaystyle e^{\mathrm {i} (kz-\omega t)}}$ gewählt wurde, wodurch sich unter anderem die Formeln für links- und rechtszirkulare Polarisation vertauschen. Beide Konventionen (umgekehrtes Vorzeichen im Exponenten) werden in der Fachliteratur genutzt, was bei der Verwendung von Formeln aus den Fachbereich Optik und der Physik allgemein beachtet werden muss.
4. Gordon Baym: Lectures on Quantum Mechanics. 3. Auflage. Westview Press, New York 1990, ISBN 0-8053-0667-6, S. 1–37.