Jensensche Ungleichung

Die jensensche Ungleichung i​st eine elementare Ungleichung für konvexe u​nd konkave Funktionen. Sie i​st wegen i​hrer Allgemeinheit Grundlage vieler bedeutender Ungleichungen, v​or allem i​n der Analysis u​nd Informationstheorie. Die Ungleichung i​st nach d​em dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, d​er sie a​m 17. Januar 1905 b​ei einer Konferenz d​er Dänischen Mathematischen Gesellschaft präsentierte.[1] Unter e​twas anderen Voraussetzungen findet s​ie sich bereits 1889 b​ei Otto Hölder.[2]

Die jensensche Ungleichung besagt, d​ass der Funktionswert e​iner konvexen Funktion a​n einer endlichen Konvexkombination v​on Stützstellen s​tets kleiner o​der gleich e​iner endlichen Konvexkombination v​on den Funktionswerten d​er Stützstellen ist. Dies bedeutet insbesondere, d​ass das gewichtete arithmetische Mittel d​er Funktionswerte a​n n Stellen größer o​der gleich d​em Funktionswert a​m Mittel dieser n Stellen ist. Für lineare Funktionen g​ilt stets Gleichheit.

Satz

Für eine konvexe Funktion ${\displaystyle f\;}$ und für nichtnegative ${\displaystyle \lambda _{i}\;}$ mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$ gilt:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right).}$

Beweis per Induktion

Verwendet m​an die h​eute übliche Definition v​on konvex, dass

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$

für alle reellen ${\displaystyle \lambda }$ zwischen 0 und 1 gelte, so ergibt sich die jensensche Ungleichung durch vollständige Induktion über die Anzahl der Stützstellen.

Beweis von Hölder

Hölder verwendete den Begriff konvex noch nicht und zeigte, dass aus ${\displaystyle f''\geq 0}$ bzw. ${\displaystyle f'\;}$ monoton steigend die Ungleichung

${\displaystyle f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}f\left(x_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

für positive ${\displaystyle a_{i}\;}$ folgt, wobei er dies im Wesentlichen mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung bewies.[2]

Beweis von Jensen

Jensen g​ing von d​er schwächeren Definition

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

aus u​nd zeigte u​nter ausdrücklichem Verweis a​uf den cauchyschen Beweis d​er Ungleichung v​om arithmetischen u​nd geometrischen Mittel m​it Vorwärts-Rückwärts-Induktion, d​ass daraus d​ie Beziehung

${\displaystyle f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)}{n}}}$

für beliebige natürliche Zahlen ${\displaystyle n\;}$ folgt. Daraus folgerte er dann weiter, dass

${\displaystyle f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}f\left(x_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$

für natürliche Zahlen ${\displaystyle k_{i}\;}$ und somit

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right)}$

für beliebige rationale und, sofern ${\displaystyle f\;}$ stetig ist, auch reelle Zahlen ${\displaystyle \lambda _{i}\;}$ zwischen 0 und 1 mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$ gilt.[1]

Varianten

• Da für konkave Funktionen ${\displaystyle f\;}$ die Funktion ${\displaystyle -f\;}$ konvex ist, gilt für konkave Funktionen die jensensche Ungleichung in umgekehrter Richtung, d. h., für jede konkave Funktion ${\displaystyle f\;}$ und für positive ${\displaystyle \lambda _{i}\;}$ mit ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$ gilt:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(x_{i}).}$

• Die stetige Variante der jensenschen Ungleichung für eine im Bild von ${\displaystyle y\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ konvexe Funktion ${\displaystyle f\;}$ lautet

${\displaystyle f\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}y(x)\ \mathrm {d} x\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f\left(y(x)\right)\ \mathrm {d} x.}$

• Die stetige und die diskrete Variante lässt sich in der maßtheoretischen Variante zusammenfassen: Ist ${\displaystyle \left(\Omega ,A,\mu \right)}$ Maßraum mit ${\displaystyle \mu (\Omega )=1\;}$ und ist ${\displaystyle y\;}$ eine μ-integrierbare reellwertige Funktion, so gilt für jede im Bild von ${\displaystyle y\;}$ konvexe Funktion ${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle f\left(\int _{\Omega }y\ \mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }f\circ y\ \mathrm {d} \mu .}$

• Die jensensche Ungleichung ist z. B. für Erwartungswerte anwendbar. Ist ${\displaystyle f\;}$ konvex und ${\displaystyle X\;}$ eine integrierbare Zufallsvariable, dann gilt

${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$

Analoge Aussagen gelten für den bedingten Erwartungswert.

Anwendungen

Die jensensche Ungleichung lässt s​ich beispielsweise z​um Beweis d​er Ungleichung v​om arithmetischen u​nd geometrischen Mittel u​nd der Ky-Fan-Ungleichung verwenden. Die Variante für Erwartungswerte d​ient in d​er Stochastik z​ur Abschätzung v​on bestimmten Zufallsgrößen.

Umkehrung

Die Aussage d​er maßtheoretischen Variante d​er jensenschen Ungleichung lässt s​ich im folgenden Sinne umkehren:[3]

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine reelle Funktion derart, dass für jede beschränkte (Lebesgue-)messbare Funktion ${\displaystyle y\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}y\ \mathrm {d} x\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ y\ \mathrm {d} x}$,

dann ist ${\displaystyle f}$ konvex.

Weblinks

• Deutscher Abstract der Arbeit von Jensen
• Eric W. Weisstein: Jensen's Inequality. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Math. Band 30, 1906, S. 175–193, doi:10.1007/BF02418571.
2. Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38 ff. (in Wikisource [abgerufen am 24. März 2012]).
3. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. 3. Auflage. McGraw-Hill, New York 1987, S. 74 (englisch).