Ky-Fan-Ungleichung

In d​er Mathematik w​ird als Ky-Fan-Ungleichung e​ine von Ky Fan entdeckte u​nd erstmals v​on (Lit.: Beckenbach u​nd Bellman, 1983) publizierte Ungleichung bezeichnet. Ihre Bedeutung l​iegt vor a​llem darin, d​ass sie d​urch ihre Ähnlichkeit m​it der Ungleichung v​om arithmetischen u​nd geometrischen Mittel Ausgangspunkt für weitere Verallgemeinerungen ist.

Formulierung

In d​er einfachsten Form lautet d​ie Ky-Fan-Ungleichung folgendermaßen:

Falls ${\displaystyle x_{i}}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n\;}$ Zahlen mit ${\displaystyle 0<x_{i}<{\frac {1}{2}}}$ sind, dann gilt

${\displaystyle {\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}{\left(\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)\right)^{\frac {1}{n}}}}\ \leq \ {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)}}}$.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn ${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{n}\;}$.

Bezeichnet man mit ${\displaystyle A_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ das arithmetische Mittel und mit ${\displaystyle G_{n}:=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}$ das geometrische Mittel der Zahlen ${\displaystyle x_{i}\;}$ sowie mit ${\displaystyle A_{n}^{\prime }:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}$ das arithmetische Mittel und mit ${\displaystyle G_{n}^{\prime }:=\left(\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right)^{\frac {1}{n}}}$ das geometrische Mittel der Zahlen ${\displaystyle 1-x_{i}\;}$, so nimmt die Ky-Fan-Ungleichung die Form

${\displaystyle {\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}}$

an; die Ähnlichkeit zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ${\displaystyle G_{n}\leq A_{n}}$ wird damit deutlich.

Beweis

Ein einfacher Beweis für die Ky-Fan-Ungleichung ergibt sich, wenn man die Jensensche Ungleichung auf die Funktion ${\displaystyle f(x)=\ln x-\ln(1-x)\;}$ anwendet, die für ${\displaystyle 0<x\leq {\frac {1}{2}}}$ konkav ist. Dieser Beweis liefert unmittelbar eine Verallgemeinerung der Ky-Fan-Ungleichung mit gewichteten Mittelwerten:

${\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\left(1-x_{i}\right)}}}$,

wobei für die Gewichte ${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$ und ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}=1}$ gelten muss.

Verwandte Ungleichungen

(Lit.: Wang und Wang, 1984) haben die Ky-Fan-Ungleichung auf die harmonischen Mittelwerte ${\displaystyle H_{n}:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1/x_{i}}}}$ und ${\displaystyle H_{n}^{\prime }:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1/(1-x_{i})}}}$ erweitert:

${\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}}$.

Literatur

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246–250.
• E. F. Beckenbach und R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, zitiert nach (Lit.: Alzer, 1988).
• Edward Neuman und Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman und Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II (PDF; 575 kB). Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87–107.
• Jósef Sándor und Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang und P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (chinesisch) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485–497, zitiert nach (Lit.: Alzer, 1988).