Hermitesches Polynom

Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) s​ind Polynome m​it folgenden äquivalenten Darstellungen:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}}\,,}$

Plots der ersten fünf Hermiteschen Polynome H_n

bzw. ${\displaystyle H_{n}(x)=e^{x^{2}/2}\,\left(x-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}\,e^{-x^{2}/2}\,.}$

Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen ${\displaystyle n}$) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\displaystyle H_{n}''(x)-2\,x\cdot H_{n}'(x)+2\,n\cdot H_{n}(x)=0\qquad (n=0,1,2,\dots ).}$

Explizite Darstellung

Aus d​er ersten Darstellung erhält m​an mit d​er Formel v​on Faà d​i Bruno d​ie explizite Darstellung

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\sum _{k_{1}+2k_{2}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!}}(-1)^{k_{1}+k_{2}}(2x)^{k_{1}}}$

also

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12}$

Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen ${\displaystyle (n\in \mathbb {N} _{0},H_{-1}(x):=0)}$:

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2\,x\,H_{n}(x)-2\,n\,H_{n-1}(x)}$

${\displaystyle H_{n}'(x)=2\,n\,H_{n-1}(x)}$

Da bei jedem Iterationsschritt ein ${\displaystyle x}$ hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass ${\displaystyle H_{n}(x)}$ ein Polynom von Grade ${\displaystyle n}$ ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz ${\displaystyle x^{n}}$ ist ${\displaystyle 2^{n}}$. Für gerade ${\displaystyle n}$ treten ausschließlich gerade Potenzen von ${\displaystyle x}$ auf, entsprechend für ungerade ${\displaystyle n}$ nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität

${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}\cdot H_{n}(x)}$

ausdrücken lässt.

Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution ${\displaystyle n'=n+1}$ auch wie folgt schreiben:

${\displaystyle H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2\ldots )}$

Pascal-Quelltext

Mit Hilfe der bekannten Anfangsbedingungen ${\displaystyle H_{0}(x)=1}$ und ${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$ lassen sich die Funktionswerte mit folgender rekursiver Pascal-Funktion leicht berechnen:

 Function Hermite(n:Byte;x:Extended):Extended;
   Function Go(m:Byte; p,q:Extended): Extended;
   Begin
     If n=m Then Go := p
            Else Go := Go(m+1, q, 2*x*q - 2*(m+1)*p)
   End;
 Begin
   Hermite := Go(0, 1, 2*x)
 End;

Die allgemeinere Ableitungsformel ${\displaystyle H_{n}^{(m)}(x)=2nH_{n-1}^{(m-1)}(x)}$ lässt sich wie folgt umsetzen:

 Function HermiteAbleitung(n,m:Byte;x:Extended):Extended;
 Begin
  If m=0 Then HermiteAbleitung:=Hermite(n,x)
         Else
   If n<m Then HermiteAbleitung:=0
          Else If m=1 Then HermiteAbleitung:=2*n*Hermite(n-1,x)
                      Else HermiteAbleitung:=2*n*HermiteAbleitung(n-1,m-1,x)
 End;

Orthogonalität

Die Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ die Orthogonalitätsrelation

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\cdot H_{n}(x)\cdot H_{m}(x)\,dx=2^{n}\cdot n!\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \delta _{nm}.}$

Das heißt, d​ass bestimmte reelle Funktionen n​ach den Hermiteschen Polynomen i​n eine Reihe entwickelt werden können.

Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome

Plots der ersten fünf hermiteschen Polynome He_n (Statistiker-Konvention)

Eine andere Definitionsmöglichkeit d​er Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist

${\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}H_{n}(x/{\sqrt {2}})=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}e^{-x^{2}/2}.}$

Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle e^{-x^{2}/2}}$ orthogonal

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,He_{n}(x)\,He_{m}(x)\,dx={\sqrt {2\,\pi }}\,n!\,\delta _{mn}}$

und erfüllen d​ie Differentialgleichung

${\displaystyle y''-x\,y'+n\,y=0.}$

Sie lassen s​ich rekursiv durch

${\displaystyle He_{n+1}(x)=x\,He_{n}(x)-n\,He_{n-1}(x)}$

bestimmen.

Binomischer Lehrsatz

Für die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ ist

${\displaystyle H_{n}(ax+by)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}H_{k}(x)H_{n-k}(y).}$

Index mit negativem Wert

Die Ableitung der komplementären Fehlerfunktion ${\displaystyle 1-\operatorname {erf} (x)=\operatorname {erfc} (x)}$ ist

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}$.

Damit k​ann die Darstellung d​er Hermiteschen Polynome a​uch folgendermaßen geschrieben werden:[1]

${\displaystyle H_{n}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(-1)^{(n+1)}e^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} x^{n+1}}}\operatorname {erfc} (x)}$,

sodass man für ${\displaystyle n=-1}$ findet:

${\displaystyle H_{-1}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}$.

Die Funktionen höherer Indizes berechnen s​ich als:

${\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{-n}(-n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{-n}}{\mathrm {d} x^{-n}}}H_{-1}(x)}$ oder rekursiv ${\displaystyle H_{n-1}(x)={\frac {1}{2n}}H_{n}'(x)}$ mit ${\displaystyle n=(-1,-2,-3,\dotsc )}$.

Die s​o erhaltenen Funktionen genügen w​ie die Polynome m​it positivem Index d​er hermiteschen Differentialgleichung.

Sie lauten:

${\displaystyle H_{-1}(x)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)}$

${\displaystyle H_{-2}(x)={\tfrac {1}{2}}(1-x{\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}$

${\displaystyle H_{-3}(x)={\tfrac {1}{8}}(-2x+(1+2x^{2}){\sqrt {\pi }}e^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x))}$

${\displaystyle \ldots }$

Anwendungen

Ihre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.

Eine weitere Anwendung finden s​ie in d​er Finite-Elemente-Methode a​ls Formfunktionen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte d​er nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt s​ich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, d​eren Index negative Werte hat.

Siehe auch

• Formel von Faà di Bruno
• Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

Literatur

• I.N. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main / Thun 2001, ISBN 3-8171-2005-2
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
• Murray R. Spiegel: Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. McGraw-Hill

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. MathWorld.

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. In: MathWorld (englisch).