Gyromagnetisches Verhältnis

Das gyromagnetische Verhältnis (auch: magnetogyrisches Verhältnis[1]) ${\displaystyle \gamma }$ bezeichnet den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Drehimpuls (oder Spin) ${\displaystyle {\vec {X}}}$ eines Teilchens und dem dazugehörigen magnetischen Moment ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{X}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{X}=\gamma _{X}{\vec {X}}}$.

Daher folgt: ${\displaystyle \gamma _{X}={\frac {|{\vec {\mu }}_{X}|}{|{\vec {X}}|}}}$. Die international verwendete Einheit des gyromagnetischen Verhältnisses ist rad·s⁻¹·T⁻¹ oder auch A·s·kg⁻¹.

Das gyromagnetische Verhältnis eines geladenen Teilchens ist das Produkt seines (dimensionslosen) gyromagnetischen Faktors ${\displaystyle g}$ und seines Magnetons ${\displaystyle \mu }$, bezogen auf das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$:

${\displaystyle \gamma =g\,{\frac {\mu }{\hbar }}}$

mit

• ${\displaystyle \mu ={\frac {q}{2\,m}}\,\hbar }$ dem Magneton des Teilchens
• ${\displaystyle q}$: elektrische Ladung
• ${\displaystyle m}$: Teilchenmasse.

Das gyromagnetische Verhältnis kann bestimmt werden unter Ausnutzung des Barnett-Effektes und des Einstein-de-Haas-Effektes. In vielen anderen Experimenten, wie z. B. ferromagnetische Resonanz oder Elektronenspinresonanz, kann der Wert von ${\displaystyle \gamma }$ deutlich abweichen – in diesem Fall spricht man vom spektroskopischen Splitting-Faktor bzw. -Verhältnis.

γ_ℓ für reinen Bahndrehimpuls eines Elektrons

Wie i​m Artikel Magnetisches Moment ausgeführt, g​ilt für d​as magnetische Moment d​es Bahndrehimpulses e​ines Elektrons:

${\displaystyle {\vec {\mu _{\ell }}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {\ell }}}$.

Mit

• ${\displaystyle -e}$ der Ladung des Elektrons
• ${\displaystyle m_{e}}$ seiner Masse.

Daher folgt:

${\displaystyle \gamma _{\ell }={\frac {|{\vec {\mu _{\ell }}}|}{|{\vec {\ell }}|}}={\frac {e}{2m_{e}}}={\frac {g_{\ell }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}}$.

Mit

• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }}$ dem Bohrschen Magneton. Der g-Faktor für die Bahnbewegung ist also ${\displaystyle g_{\ell }=1.}$

γ_S für den Spin eines Teilchens

Betrachtet man ein Teilchen mit Spin ${\displaystyle {\vec {S}}}$, so gilt:

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=\gamma _{S}{\vec {S}}}$, beziehungsweise ${\displaystyle \gamma _{S}={\frac {|{\vec {\mu _{S}}}|}{|{\vec {S}}|}}}$

Der Wert dieser Naturkonstante i​st für j​ede Teilchenart charakteristisch. Nach derzeitiger Messgenauigkeit beträgt sie

• für das freie Proton:

${\displaystyle \gamma _{\text{Proton}}=2{,}675\,221\,8744(11)\cdot 10^{8}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,}$ [2]

• für das Elektron:

${\displaystyle \gamma _{\text{Elektron}}=1{,}760\,859\,630\,23(53)\cdot 10^{11}\ \mathrm {rad} \cdot \mathrm {s} ^{-1}\,\mathrm {T} ^{-1}\,}$ [3]

dabei g​eben die eingeklammerten Ziffern jeweils d​ie geschätzte Standardabweichung für d​en Mittelwert an, d​er den beiden letzten Ziffern v​or der Klammer entspricht.

Der g-Faktor für Spinmagnetismus ist beim freien Elektron mit 2,002 319 ... ungefähr gleich 2. Beim freien Proton dagegen gilt Analoges keineswegs: Das magnetische Moment des Protons liegt zwar der Größenordnung nach bei dem sog. „Kernmagneton“ (das wäre der Wert ${\displaystyle |e|\hbar /(2m_{\mathrm {Proton} })\,}$), jedoch beträgt es ein krummzahliges Vielfaches dieses Wertes, genauer: das 2,79-fache. Auch das Neutron weist ein magnetisches Moment auf, obwohl es als ganzes elektrisch neutral ist. Sein magnetisches Moment ist das −1.91-fache des Kernmagnetons und zeigt also entgegengesetzt zu demjenigen des Protons. Es lässt sich erklären durch die Substruktur des Neutrons.

Die elektronischen g-Faktoren d​er ferromagnetischen Metalle Eisen, Kobalt u​nd Nickel liegen n​ahe bei 2 (mit Abweichungen v​on nur e​twa 10 %), d. h., d​ass der Magnetismus dieser Systeme überwiegend Spinmagnetismus i​st mit n​ur einem geringen Bahnanteil.

Gyromagnetische Verhältnisse von Atomkernen

Auch für Kerne k​ann dieses Verhältnis gemessen u​nd angegeben werden. In d​er folgenden Tabelle s​ind einige Werte angegeben.[4][5]

Kern	${\displaystyle \gamma _{n}}$ in 10^7 rad·s^−1·T^−1	${\displaystyle \gamma _{n}/2\pi }$ in MHz·T^−1
^1H	+26,752[6]	+42,577[7]
^2H	0+4,1065	0+6,536
^3He	−20,3789	−32,434
^7Li	+10,3962	+16,546
^13C	0+6,7262	+10,705
^14N	0+1,9331	0+3,077
^15N	0−2,7116	0−4,316
^17O	0−3,6264	0−5,772
^19F	+25,1662	+40,053
^23Na	0+7,0761	+11,262
^31P	+10,8291	+17,235
^129Xe	0−7,3997	−11,777

Siehe auch

• Larmorfrequenz

Literatur

• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4.
• Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik. 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, S. 194 ff, ISBN 3-540-02621-5.

Einzelnachweise

1. Manfred Hesse, Herbert Meier, Bernd Zeeh: Spektroskopische Methoden in der organischen Chemie. 7. Auflage, Georg Thieme Verlag, Stuttgart, 2005, ISBN 3-13-576107-X
2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für ${\displaystyle \gamma _{p}}$. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juli 2019. Wert für ${\displaystyle \gamma _{e}}$. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
4. M A Bernstein, K F King and X J Zhou: Handbook of MRI Pulse Sequences. Elsevier Academic Press, San Diego 2004, ISBN 0-12-092861-2, S. 960.
5. R C Weast, M J Astle (Hrsg.): Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton 1982, ISBN 0-8493-0463-6, S. E66.
6. proton gyromagnetic ratio. NIST. 2019.
7. proton gyromagnetic ratio over 2 pi. NIST. 2019.