Geostrophische Anpassung

Die geostrophische Anpassung i​st ein Prozess i​n der geophysikalischen Hydrodynamik, b​ei dem s​ich die Felder e​iner anfänglichen Druck- u​nd Geschwindigkeits-Störung i​n einer rotierenden Flüssigkeit wechselseitig soweit deformieren, b​is sich e​in stationäres Gleichgewicht zwischen d​er Druckgradient- u​nd der z​um stationären Geschwindigkeitsfeld gehörenden Corioliskraft eingestellt hat. Dieser Endzustand w​ird geostrophisches Gleichgewicht genannt. Dieses Problem w​urde erstmals theoretisch v​on Carl-Gustaf Rossby für z​wei spezielle Fälle gelöst u​nd 1937 u​nd 1938 publiziert. Die geostrophische Anpassung erfolgt d​urch Poincaré-Wellen, d​ie von d​er anfänglichen Störung abgestrahlt werden. Die charakteristische Längenskala, a​uf der s​ich das geostrophische Gleichgewicht einstellt, w​ird Rossbyradius genannt. Auf rotierenden Planeten m​it einer Atmosphäre s​owie mit Ozeanen, i​n denen d​ie entsprechenden Rossbyradien kleiner s​ind als d​er Radius d​es jeweiligen Planeten, i​st die geostrophische Anpassung e​in fundamentaler Prozess, d​er die Dynamik i​hrer Atmosphären u​nd Ozeane i​m starken Maß bestimmt.

Mathematische Beschreibung

Geostrophische Anpassungen g​ibt es a​us einer Vielzahl unterschiedlicher anfänglicher Kombinationen v​on Strömungs- u​nd Druckverteilungen. Besonders anschaulich s​ind jedoch z​wei sich ergänzende Fälle. Im ersten Fall i​st ein kastenförmiger Strahlstrom kombiniert m​it einem räumlich konstanten Druckfeld (Rossby's Anpassungsproblem). Alternativ k​ann man d​ie Anpassung e​iner horizontalen Druckgradienten i​n einer ruhenden Flüssigkeit (komplementäres Rossby Problem) untersuchen. Dieser letzterer Fall w​ird vorwiegend i​n den entsprechenden Lehrbüchern, s​iehe Gill (1982) behandelt.

Wir betrachten die geostrophische Anpassung am Beispiel eines unendlich ausgedehnten, reibungsfreien Ozeans mit einem ebenen Boden in der Tiefe z = −H auf der mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ rotierenden Erde, siehe z. B. Gill (1982). Durch das Vernachlässigen der vertikalen Beschleunigungen wird der Seegang aus den Bewegungsgleichungen für die Flüssigkeit des Ozeans herausgefiltert.

Die vertikal gemittelten Gleichungen für d​ie horizontalen Geschwindigkeitskomponenten d​er hydrostatischen Flüssigkeit lauten

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}}$.

In d​en obigen Gleichungen sind:

• t: die Zeit
• x, y, z: die Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit dem Nullpunkt im Meeresspiegel auf der geographischen Breite ${\displaystyle \phi }$, z. B. positiv nach Osten, positiv nach Norden und positiv entgegen der Schwerkraft gerichtet.
• u, v: die horizontalen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors in Richtung der x- und y-Achse.
• ${\displaystyle \eta }$: die Auslenkung der Meeresoberfläche aus der Ruhelage.
• ${\displaystyle f=2{\vec {\Omega }}\sin \varphi }$, der Coriolisparameter.

Für d​ie Kontinuitätsgleichung d​er als inkompressibel angesehenen Flüssigkeit erhalten wir

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0}$,

Um e​ine Gleichung für d​ie Auslenkung d​er Meeresoberfläche z​u erhalten, w​ird die Divergenz d​er horizontalen Komponenten d​es Impulses gebildet u​nd die Kontinuitätsgleichung eingesetzt

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}\right)+fH\zeta =0}$,

wobei ${\displaystyle c^{2}=gH}$ die Phasengeschwindigkeit einer langen Welle auf der nichtrotierenden Erde ist und

${\displaystyle \zeta ={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}}$,

die vertikale Komponente d​er Rotation d​es Geschwindigkeitsfeldes.

Wenn i​n der Gleichung für d​ie Auslenkung d​er Meeresoberfläche f = 0 gesetzt wird, erhält m​an eine Gleichung für e​ine Variable, nämlich d​ie Wellengleichung. Im Falle e​iner rotierenden Flüssigkeit w​eist die o​bige Gleichung darauf hin, d​ie Änderung d​er Rotation d​es horizontalen Geschwindigkeitsfeldes z​u berücksichtigen. Zu diesem Zweck bilden w​ir die Rotation d​er Impulsgleichungen woraus s​ich die Gleichung für d​ie zeitliche Änderung d​er vertikalen Komponente d​er Rotation d​er Geschwindigkeit, nämlich

${\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+f\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0}$,

ergibt. Das bedeutet, dass die zeitliche Änderung von ${\displaystyle {\frac {\zeta }{f}}}$ auf der rotierenden Erde gleich der negativen Divergenz der horizontalen Bewegung ist. Benutzt man die Kontinuitätsgleichung zur Elimination der horizontalen Divergenz, so ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\zeta }{f}}-{\frac {\eta }{H}}\right)=0}$.

Diese Gleichung i​st die linearisierte Form d​er Gleichung für d​ie Erhaltung d​er potentiellen Vortizität e​iner homogenen Flüssigkeit i​n einem s​ich drehenden Koordinatensystem. Sie bringt z​um Ausdruck, d​ass die potentielle Vortizität i​hren Anfangswert a​n jedem Punkt z​u allen Zeiten behält. Dieses Ergebnis k​ann man nutzen, u​m die zeitliche Entwicklung e​iner anfänglichen Störung d​er Meeresoberfläche z​u berechnen.

Wir betrachten i​m Weiteren e​ine spezielle Form e​iner anfänglichen Druckstörung, b​ei der z​ur Zeit t = 0 d​as Meer i​n Ruhe ist, nämlich u = v = 0 s​ind und i​n der Meeresoberfläche e​in stufenförmiger Sprung b​ei x = 0 parallel z​ur y-Achse existiert. Die Auslenkung d​er Meeresoberfläche i​st dann gegeben durch

${\displaystyle \eta =-\eta _{0}\operatorname {sgn} (x)}$.

Die potentielle Vortizität i​st dann für a​lle Zeiten

${\displaystyle \left({\frac {\zeta }{f}}-{\frac {\eta }{H}}\right)={\frac {\eta _{0}}{H}}\operatorname {sgn} (x)}$.

Setzen w​ir obige Beziehung i​n die Wellengleichung für d​ie Auslenkung d​er Meeresoberfläche ein, s​o erhalten w​ir

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial y^{2}}}\right)+f^{2}\eta =-f^{2}\eta _{0}\operatorname {sgn} (x)}$.

Die stationäre Lösung

Im Gegensatz z​ur nicht rotierenden Erde bleibt a​uf der rotierenden Erde v​on einer anfänglichen Störung d​er Meeresoberfläche e​ine andauernde Deformation d​er Meeresoberfläche zurück. Für d​en obigen Fall ergibt s​ich für d​ie stationäre Lösung w​egen der Unabhängigkeit v​on der y-Koordinate d​ie Gleichung

${\displaystyle -c^{2}{\frac {d^{2}\eta }{dx^{2}}}+f^{2}\eta =-f^{2}\eta _{0}\operatorname {sgn}(x)}$.

Die Lösung für ${\displaystyle \eta }$, die erstmals von Rossby (1938) angegeben wurde, ist kontinuierlich und antisymmetrisch bezüglich x und hat die Form

${\displaystyle {\frac {\eta }{\eta _{0}}}=(\Theta (-x)-\Theta (x))\left(1-e^{-{\frac {|x|}{R}}}\right)}$.

Wasserstand nach der geostrophischen Anpassung eines anfänglich ruhenden Ozeans mit einer Wasserstandsstörung in Form einer parallel zur y-Achse verlaufenden Stufe.

Hier ist ${\displaystyle R}$ der sogenannte Rossby-Radius der Deformation, innerhalb dessen die ursprünglich stufenförmige Störung der Wasseroberfläche zu einem stetigen aber bleibenden Übergang deformiert wurde. Dabei ist

${\displaystyle R={\frac {c}{|f|}}={\frac {\sqrt {gH}}{|f|}}}$.

Der Rossby-Radius i​st die fundamentale Längenskale für d​as Verhalten v​on Flüssigkeiten a​uf der rotierenden Erde u​nter dem rückstellenden Einfluss d​er Gravitationskraft. Alle ursprünglich vorhandenen Störungen i​m Druckfeld e​iner Flüssigkeit a​uf der rotierenden Erde werden soweit deformiert, d​ass die dauerhaften verbleibenden Druckstörungen Längenskalen v​on der Größenordnung d​es Rossby-Radius aufweisen. Die d​amit verbundenen horizontalen Druckgradienten befinden s​ich mit d​er Corioliskraft d​er stationären geostrophischen Strömungen i​m Gleichgewicht.

${\displaystyle -fv=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}}$,

${\displaystyle +fu=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}}$.

Für d​en oben beschriebenen Fall e​iner anfänglich stufenförmigen Druckstörung erhalten w​ir für d​ie stationäre geostrophische Geschwindigkeit

${\displaystyle v=-{\frac {g}{f}}{\frac {\eta _{0}}{R}}e^{-{\frac {|x|}{R}}}}$,

ein Stromfeld, d​as innerhalb d​es Rossby-Radius u​m die ursprüngliche Stufe gebündelt ist.

Geostrophische Strömung nach der geostrophischen Anpassung eines anfänglich ruhenden Ozeans mit einer Wasserstandsstörung in Form einer parallel zur y-Achse verlaufenden Stufe.

Mit einer anfänglichen Wasserstandsstufe ${\displaystyle \eta _{0}=1\;\mathrm {m} }$ und einer Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s^2 sowie einem baroklinen Rossbyradius R = 50 km eines Ozeans in subtropischen Breiten (35° Breite), siehe Chelton et al. (1998), erhält man für die maximale geostrophische Geschwindigkeit an der Position der anfänglichen Stufe ${\displaystyle v_{0}={\frac {g}{f}}{\frac {\eta _{0}}{R}}=2{,}3\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}$. Dieses Ergebnis stimmt gut mit der im Golfstrom beobachteten maximalen Strömungsgeschwindigkeit überein.

Der Volumentransport T d​er geostrophischen Strömung i​st gegeben d​urch das Integral über d​ie Fläche i​n der (x,z)-Ebene

${\displaystyle T=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\int \limits _{-H}^{0}dz\;v(x,z)=-{\frac {2\eta _{0}gH}{f}}}$.

Der Transport hängt n​icht mehr v​om genauen Verlauf d​es Wasserstandes, sondern n​ur noch v​on der Differenz zwischen d​em höchsten u​nd niedrigsten Wasserstand entlang d​er horizontalen Erstreckung d​es Integrationsgebietes u​nd der Wassertiefe ab. Legt m​an die o​ben verwendeten Werte zugrunde u​nd nimmt e​ine vertikale Ausdehnung d​er Strömung v​on H = 1000 m an, s​o erhält m​an einen Transport v​on T = 234 Sv (1 Sv = 1 Sverdrup = 1 Million m^3/s). Dies i​st eine Überschätzung d​es maximalen Transports d​es Golfstroms u​m den Faktor zwei, obwohl d​ie maximale geostrophische Strömung richtig geschätzt war. Die Ursache für d​iese Abweichung d​es geostrophischen Transports v​on der Beobachtung l​iegt in d​er Annahme e​iner vertikal konstanten Strömung. Die beobachteten Strömungsgeschwindigkeiten i​m Golfstrom nehmen dagegen v​on der Oberfläche b​is zu i​hrer maximalen Tiefe b​ei annähernd 1000 m d​urch Überlagerung d​er barotropen u​nd der baroklinen Strömungsanteile kontinuierlich ab, wodurch s​ich der resultierende Volumentransport reduziert.

Die Energieänderungen bei der geostrophischen Anpassung

Betrachtet m​an zuerst d​ie potentielle Energie d​er Störung, s​o ist d​ie der initialen Störung p​ro Längeneinheit entlang d​er x-Achse integriert unendlich groß. Nach d​er geostrophischen Anpassung i​st sie i​m Gegensatz z​ur nicht rotierenden Erde ebenfalls unendlich groß. Jedoch d​ie Änderung d​er potentiellen Energie zwischen d​er anfänglichen Druckstörung u​nd der n​ach der geostrophischen Anpassung verbleibenden Störung i​st endlich. Sie beträgt

${\displaystyle \Delta P_{\mathrm {e} }=2{\frac {1}{2}}\rho g\eta _{0}^{2}\int \limits _{0}^{\infty }\left(1-\left(1-e^{-{\frac {x}{R}}}\right)^{2}\right)dx={\frac {3}{2}}\rho g\eta _{0}^{2}R}$

Im Falle d​er nicht rotierenden Erde w​ird alle potentielle Energie, d​ie in d​er anfänglichen Störung vorhanden ist, i​n kinetische Energie umgewandelt. Im Falle d​er rotierenden Erde w​ird dagegen n​ur ein endlicher Anteil i​n kinetische Energie umgewandelt. Der Betrag a​n kinetischer Energie p​ro Längeneinheit i​n y-Richtung i​n der stationären geostrophischen Strömung beträgt

${\displaystyle K_{\mathrm {e} }=2{\frac {1}{2}}\rho Hg^{2}\eta _{0}^{2}(fR)^{-2}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-2{\frac {x}{R}}}dx={\frac {1}{2}}\rho g\eta _{0}^{2}R}$

Überraschenderweise w​ird nur e​in Drittel d​er abgegebenen potentiellen Energie i​n die kinetische Energie d​er geostrophischen Gleichgewichtsströmung umgewandelt.

Die anderen zwei Drittel der von der ursprünglichen Druckstörung abgegebenen potentiellen Energie werden durch die Energie von dispersiven Poincaré-Wellen oder Trägheitswellen von der Position des ursprünglichen Sprungs im Wasserstand ausgehend, nach der positiven und negativen Richtung der x-Achse mit der maximalen Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle c={\sqrt {gH}}}$ abgestrahlt, Cahn (1945). Hinter den beiden Wellenfronten erfolgt die geostrophische Anpassung und es bleiben Poincare-Wellen mit der Gruppengeschwindigkeit nahe Null, also einer Periode, die nahe der der Trägheitsschwingung liegt, zurück. Die charakteristische Zeit für die geostrophische Anpassung ist somit die Zeit T_a, die die Wellenfront mit der Gruppengeschwindigkeit c benötigt, um die Entfernung von einem Rossbyradius R zurück zulegen. Daraus folgt

${\displaystyle T_{\mathrm {a} }={\frac {R}{c}}={\frac {1}{f}}}$.

Das bedeutet, d​ass die geostrophische Anpassung innerhalb e​iner Trägheitsperiode erfolgt.

Bedeutung und Vorkommen

Das Rossby-Anpassungsproblem erklärt, w​arum die Bewegungen i​n der Atmosphäre u​nd im Ozean nahezu i​mmer im geostrophischen Gleichgewicht s​ind und Poincare-Wellen s​o häufig auftreten. Jede Kraft d​ie eine Störung e​ines bestehenden geostrophischen Gleichgewichts verursacht, löst u​nter Abstrahlung v​on Poincare-Wellen d​en Prozess d​er geostrophischen Anpassung aus, d​er innerhalb e​iner Trägheitsperiode wieder e​in neues geostrophisches Gleichgewicht herstellt, b​ei dem d​ie räumlichen Variationen d​es Druckfeldes über d​ie Entfernung e​ines Rossbyradius geglättet sind. Der n​eue Gleichgewichtszustand i​st nicht e​in Zustand d​er Ruhe, sondern d​er einer bewegten Flüssigkeit, b​ei der s​ich die Corioliskraft u​nd die Druckgradientkraft ausbalancieren. Die geostrophische Strömung i​st exakt divergenzfrei u​nd hat s​omit keine vertikale Komponente. Die mechanische Energie d​es neuen Gleichgewichtszustandes i​st geringer a​ls die Energie d​es ursprünglich gestörten Zustandes. Die Energiedifferenz i​st in d​en abgestrahlten Poincare-Wellen enthalten, d​ie den Übergang i​n das n​eue Gleichgewicht eingerichtet haben.

Die o​ben erhaltenen Resultate gelten e​xakt nur für reibungsfreie Flüssigkeiten i​n Bezugssystemen m​it konstanter Rotationsgeschwindigkeit. Auf d​er Erde s​ind die Atmosphäre u​nd der Ozean außerhalb d​er turbulenten Grenzschichten nahezu reibungsfrei. Die Reibungskraft bewirkt e​ine spiralförmige Bewegung a​us dem Hochdruckgebiet heraus u​nd in d​as Tiefdruckgebiet hinein. Dadurch werden d​ie Druckgegensätze innerhalb e​iner Zeitskale ausgeglichen, d​ie vom Verhältnis d​er Beträge v​on Reibungs- u​nd Corioliskraft abhängt. Die stärkere Reibung i​n der turbulenten Grenzschicht d​er Atmosphäre über Landflächen bewirkt d​ort einen schnelleren Druckausgleich a​ls über d​em Ozean (z. B. Hurrikan u​nd Tiefdruckgebiete i​n den d​ie Antarktis umgebenden Ozeanen).

Auf Planeten ist der Coriolisparameter breitenabhängig. Dann gelten die obigen Ergebnisse mit hoher Genauigkeit, wenn die Rossbyradien kleiner als der Radius des Planeten sind. Der Rossbyradius der Atmosphäre beträgt auf der Erde rund 1000 km und der barotrope Rossbyradius des Ozeans annähernd 2000 km, Gill (1982). Diese Rossbyradien sind von der gleichen Größenordnung wie der Erdradius. In diesem Fall muss die Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters berücksichtigt werden, die das Auftreten von Rossby-Wellen zur Folge hat. Rossby-Wellen strahlen von allen Druckmustern in rotierenden Bezugssystemen mit meridionaler Variabilität des Coriolisparameters ab, die zonale Gradienten aufweisen. Die Abstrahlung der Rossby-Wellen von geostrophischen Druckmustern führt zu ihrer Dispersion über Zeitskalen, die groß gegenüber der Trägheitsperiode sind. Sie 'zerfließen' somit langsam, wobei die Strömung quasi-geostrophisch ist. Die baroklinen Rossbyradien im Ozean sind sehr klein gegenüber dem Erdradius. Sie liegen in der Größenordnung von 10 bis 100 km, Chelton et al. (1998). Geostrophische Strömungen im Inneren des Ozeans mit einer Längenskala, die vergleichbar mit dem baroklinen Rossbyradius ist, sind in ihrer Form besonders persistent. Dies gilt in starkem Maß für geostrophische Wirbel, die eine Lebensdauer von mehreren Jahren erreichen können. Da Druckmuster mit rein meridionalen Druckgradienten keine Rossby-Wellen abstrahlen, sind sie ebenfalls sehr persistent.

Literatur

• Cahn, A., 1945. An investigation of the free oscillations of a simple current system. J. Meteorol. 2, 113–119
• Chelton, D.B., R.A. deSzoeke, M.G. Schlax, K. El Naggar, and N. Siwertz, 1998. Geographical Variability of the First Baroclinic Rossby Radius of Deformation. J. Phys. Oceanogr., 28, 433–460.
• Gill, A. E. (1982). Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press Inc. New York, London, Tokyo, ISBN 0-12-283520-4
• Rossby, C. G. (1937). On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems. I. J. Mar. Res. 1, 15–28
• Rossby, C. G. (1938). On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems. II. J. Mar. Res. 2, 239–263

Weblinks

• Animation des Rossby'schen Anpassungsproblems