Potentielle Vortizität

Die potentielle Vortizität oder potentielle Vorticity ${\displaystyle PV}$ ist als Maß für die Scherung von Strömungen insbesondere in der Ozeanografie und der Meteorologie von Bedeutung. Sie kombiniert die Erhaltung der Wirbelstärke (Vortizität) mit der Erhaltung der Masse und ist ein Spezialfall des ertelschen Wirbelsatzes.

Die potentielle Vortizität i​st definiert als:

${\displaystyle PV={\frac {{\vec {\xi }}+2{\vec {\Omega }}}{\rho }}\cdot \nabla \Psi }$

mit

• ${\displaystyle {\vec {\xi }}=\nabla \times {\vec {u}}}$ die relative Vortizität
• ${\displaystyle 2{\vec {\Omega }}}$ die planetarische Vortizität
  • ${\displaystyle \Omega }$ die Winkelgeschwindigkeit
• ${\displaystyle \rho }$ die Dichte
• ${\displaystyle \nabla }$ der Nabla-Operator
• ${\displaystyle \Psi }$ eine skalare Größe, die nur vom Druck ${\displaystyle p}$ und der Dichte abhängt, zum Beispiel die potentielle Temperatur oder die potentielle Dichte.

Als Maßeinheit d​er potentiellen Vortizität i​st in d​er Meteorologie d​ie PVU (potential vorticity unit) gebräuchlich:

${\displaystyle 1\,\mathrm {PVU} \equiv {\frac {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }}}$

Quelle bzw. Senke potentieller Vortizität s​ind barokline Effekte u​nd Reibung.

Falls folgende Einschränkungen für d​ie Strömung gelten:

1. keine Reibung
2. ${\displaystyle \Psi }$ ist Erhaltungsgröße, d. h. ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}}=0}$
3. Barotropie, d. h. ${\displaystyle \nabla \rho \times \nabla p=0}$ oder ${\displaystyle \Psi =\Psi (\rho ,p)}$

dann i​st auch d​ie potentielle Vortizität e​ine Erhaltungsgröße:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {{\vec {\xi }}+2{\vec {\Omega }}}{\rho }}\cdot \nabla \Psi \right)=0}$

Daraus folgt, dass die relative Vortizität ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ abnehmen muss, wenn die planetarische Vortizität ${\displaystyle 2{\vec {\Omega }}}$ zunimmt, z. B. bei Bewegung einer Wassersäule nach Norden. Dies ist analog zur Drehimpulserhaltung der Mechanik.

Wenn ${\displaystyle \Psi }$ eine Funktion von Dichte und Druck ist, d. h. ${\displaystyle \Psi =\Psi (\rho ,p)}$, ist dies gleichbedeutend mit Adiabasie. Dann kann die erhaltene potentielle Vortizität auch dargestellt werden als:

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\xi +2\Omega \cdot \sin \phi }{H}}\right)=0}$

mit

• ${\displaystyle \phi }$ die geographische Breite
• ${\displaystyle H}$ die Wassertiefe.

Literatur

• Joseph Pedlosky: Geophysical Fluid Dynamícs. Springer Verlag 1987. ISBN 3-540-96387-1
• Adrian E. Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics. International Geophysics Series. ISBN 0-12-283522-0
• Jose P. Peixoto: Physics of Climate. Springer Verlag 1992. ISBN 0-88318-712-4

Weblink

• Michael E. McIntyre: Potential vorticity (PDF)