Geometrische Maßtheorie

Die Geometrische Maßtheorie ist das Studium geometrischer Eigenschaften durch die Maßtheorie. Sie liegt zwischen der Differentialgeometrie und der Topologie und liefert allgemeinere Ansätze als die Differentialgeometrie, da auch Flächen und Abbildungen mit Singularitäten betrachtet werden. Sie ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Variationsrechnung.

Klassische Anwendungsprobleme sind Minimalflächen mit Singularitäten und nichtlineare partielle Differentialgleichungen mit Singularitäten.

Geschichte

Eines der ältesten Probleme der geometrischen Maßtheorie ist der Beweis der Existenz einer Minimalfläche, wobei eine Randbedingungen vorgegeben ist. Dieses Problem nennt man Plateau-Problem.

Zu den ersten Arbeiten auf dem Gebiet der geometrischen Maßtheorie gehören die Resultate von Abram Besikowitsch.

In den 1950–1960er Jahren erschienen fundamentale Resultate von Mathematikern wie Ennio De Giorgi, Ernst Robert Reifenberg, Herbert Federer und Wendell Fleming. Der Begriff des Stroms stammt von Georges de Rham.

Als einer der Meilensteine gilt die Arbeit Normal and Integral Currents[1] von Federer und Fleming.

Maße

Grundlegende Begriffe sind das ${\displaystyle m}$-dimensionale Hausdorff-Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ und das ${\displaystyle m}$-dimensionale sphärische Maß ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}$.

Hausdorff-Maß und sphärisches Maß

→ Hauptartikel: Hausdorff-Maß

Radon-Maß

→ Hauptartikel: Radonmaß

Dichte eines Maßes

Sei ${\displaystyle \Omega _{m}}$ das ${\displaystyle m}$-dimensionale Volumen der Einheitskugel im euklidischen Raum

${\displaystyle \Omega _{m}={\frac {2\pi ^{m/2}}{m\Gamma (m/2)}}={\frac {[\Gamma (1/2)]^{m}}{\Gamma (m/2+1)}}}$.

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein fixer Punkt und ${\displaystyle 0\leq m<\infty }$.

• Die obere ${\displaystyle m}$-dimensionale Dichte von ${\displaystyle \mu }$ in ${\displaystyle p}$ ist definiert als

${\displaystyle \Theta ^{*m}(\mu ,p)=\limsup \limits _{r\downarrow 0}{\frac {\mu \left[{\bar {B_{r}}}(p)\right]}{\Omega _{m}r^{m}}}}$

• Die untere ${\displaystyle m}$-dimensionale Dichte von ${\displaystyle \mu }$ in ${\displaystyle p}$ ist definiert als

${\displaystyle \Theta _{*}^{m}(\mu ,p)=\liminf \limits _{r\downarrow 0}{\frac {\mu \left[{\bar {B_{r}}}(p)\right]}{\Omega _{m}r^{m}}}}$

• Wenn ${\displaystyle \Theta ^{*m}(\mu ,p)=\Theta _{*}^{m}(\mu ,p)}$, dann spricht man von der ${\displaystyle m}$-dimensionalen Dichte von ${\displaystyle \mu }$ in ${\displaystyle p}$.

${\displaystyle {\bar {B_{r}}}(p)}$ bezeichnet die abgeschlossene Kugel um ${\displaystyle p}$ mit Radius ${\displaystyle r}$.

Caccioppoli-Mengen

Definition (Caccioppoli)

Sei ${\displaystyle E}$ Lebesgue-messbare Menge in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ${\displaystyle E}$ ist eine Caccioppoli-Menge oder eine Menge mit (lokalem) endlichem Perimeter in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ falls für jede kompakte Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gilt[2]

${\displaystyle \operatorname {P} (E,K):=\sup \left\{\int _{E}\mathrm {div} \ T(x)\mathrm {d} x:T\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}),\operatorname {supp} T\subset K,\sup \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|T|\leq 1\right\}<\infty }$

Die Menge ist nach Renato Caccioppoli benannt.

Rektifizierbarkeit

Zentrale Objekte sind die rektifizierbaren Mengen, mit denen sich der approximative Tangentialraum definieren lässt.

Rektifizierbare Menge

→ Hauptartikel: Rektifizierbare Menge

Approximativer Tangentialraum

→ Hauptartikel: Rektifizierbare Menge#Approximativer Tangentialraum

Ströme

→ Hauptartikel: Strom (Mathematik)

Strom

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und mit ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(U)}$ bezeichne den topologischen Dualraum von ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{m}(U):=C_{c}^{\infty }\left(U,\wedge ^{m}\mathbb {R} ^{n}\right)}$. Dann ist ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(U)}$ ein ${\displaystyle m}$-dimensionaler Strom auf ${\displaystyle U}$.

Erläuterungen

Ein Strom ist somit ein stetiges, lineares Funktional auf dem Raum der ${\displaystyle m}$-Formen auf ${\displaystyle U}$ mit kompaktem Träger. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(U)}$ ist der Vektorraum aller ${\displaystyle m}$-Ströme auf ${\displaystyle U}$.

Wichtige Klassen von Strömen sind normale Ströme (Ströme mit endlicher Masse) und Integral-Ströme.

Hilfsmittel

Überdeckungssätze

Zentrale Sätze sind der Überdeckungssatz von Vitali und der Überdeckungssatz von Besikowitsch.

Überdeckungssatz von Besikowitsch

Sei ${\displaystyle n\geq 1}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine Familie von geschlossenen nicht-degenerierten Bällen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und entweder ist die Menge ${\displaystyle C}$ der Mittelpunkte der Bälle in ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ beschränkt oder ${\displaystyle \sup \left\{\operatorname {diam} ({\bar {B}}):{\bar {B}}\in {\mathcal {B}}\right\}<\infty }$. Dann existiert eine positive Konstante ${\displaystyle K(n)}$ und Subfamilien ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}\dots ,{\mathcal {B}}_{K(n)}}$ so dass

• Jedes ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ disjunkt und höchstens abzählbar ist.
• ${\displaystyle C\subset \bigcup _{i=1}^{K(n)}\bigcup _{{\bar {B}}\in {\mathcal {B}}_{i}}{\bar {B}}}$.

Flächen- und Koflächenformel

Sei ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine Lipschitz-Funktion und mit ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}}$ bezeichnen wir das äußere Lebesgue-Maß und ${\displaystyle J_{m}f}$ bezeichnen wir die ${\displaystyle m}$-dimensionale Jacobi-Determinante von ${\displaystyle f}$

${\displaystyle J_{m}f(a)={\sqrt {\operatorname {det} [(Df(a))^{t}(Df(a))]}}}$

Flächenformel

Falls ${\displaystyle m\leq n}$ dann gilt

${\displaystyle \int _{A}J_{m}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{0}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}y}$

für jede Lebesgue-messbare Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$.

Koflächenformel

Falls ${\displaystyle m\geq n}$ dann gilt

${\displaystyle \int _{A}J_{n}f(x)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{m-n}\left(A\cap f^{-1}(y)\right)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}y}$

für jede Lebesgue-messbare Menge ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$.

Poincaré-Ungleichungen

→ Hauptartikel: Poincaré-Ungleichung

Isoperimetrische Ungleichung

→ Hauptartikel: Isoperimetrische Ungleichung

Literatur

• Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Hrsg.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9, doi:10.1007/978-0-8176-4679-0.
• Francesco Maggi: Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems - An Introduction to Geometric Measure Theory. Hrsg.: Cambridge University Press.
• Frank Morgan: Geometric Measure Theory - A Beginner's Guide. Hrsg.: Academic Press. ISBN 978-0-12-804489-6.
• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Hrsg.: Springer Verlag. 1969.

Einzelnachweise

1. Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and integral currents. In: Annals of Mathematics, 2nd Series, Bd. 72. Nr. 3, 1960, S. 458–520.
2. Francesco Maggi: Sets of Finite Perimeter and Geometric Variational Problems - An Introduction to Geometric Measure Theory. Hrsg.: Cambridge University Press.