Rektifizierbare Menge

Die Rektifizierbare Menge i​st ein zentraler Begriff a​us der geometrischen Maßtheorie. Eine solche Menge h​at stückweise glatte Eigenschaften u​nd teilt s​omit fast überall Eigenschaften e​iner differenzierbarer Mannigfaltigkeit. Insbesondere s​ind diese Mengen v​on Bedeutung, w​eil sie e​inen approximativen Tangentialraum induzieren.[1]

Definition

Sei ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$. Eine Menge ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ heißt abzählbar ${\displaystyle m}$-rektifizierbar, falls Folgendes gilt:

1. ${\displaystyle S\subseteq S_{0}\cup \left(\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }F_{j}(\mathbb {R} ^{m})\right)}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0}$
3. ${\displaystyle F_{j}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ sind Lipschitz-Funktionen für ${\displaystyle j=1,2,\dots }$,

wobei ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ das ${\displaystyle m}$-dimensionale Hausdorff-Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ bezeichnet.

Erläuterungen

Da sich eine Lipschitz-Funktion ${\displaystyle f:S_{j}\to \mathbb {R} ^{n}}$ zu ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ erweitern lässt, wobei die neue Lipschitz-Konstante ${\displaystyle C_{F}=rC_{f}}$ für eine Konstante ${\displaystyle r}$, lässt sich der Begriff auch mit folgenden gleichwertigen Bedingungen formulieren: für ${\displaystyle S_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ gilt

1. ${\displaystyle S=S_{0}\cup \left(\bigcup \limits _{j=1}^{\infty }F_{j}(S_{j})\right)}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(S_{0})=0}$
3. ${\displaystyle F_{j}:S_{j}\to \mathbb {R} ^{n}}$ sind Lipschitz-Funktionen für ${\displaystyle j=1,2,\dots }$

Approximativer Tangentialraum

Sei ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, von Hausdorff-Dimension ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-messbar mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(S\cap K)<\infty }$ für jede kompakte Menge ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. Dann nennt man den ${\displaystyle m}$-dimensionalen linearen Unterraum ${\displaystyle L}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ den ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-approximativen Tangentialraum von ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ falls

${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0^{+}}\int _{\lambda ^{-1}(S-x)}f(y)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)=\int _{L}f(y)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(y)}$

für ${\displaystyle f\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n})}$. Dieser existiert genau dann ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-fast überall für jedes ${\displaystyle x\in S}$, wenn ${\displaystyle S}$ abzählbar ${\displaystyle m}$-rektifizierbar ist.

Erläuterungen

Wenn ${\displaystyle y\in \lambda ^{-1}(S-x)}$ dann ${\displaystyle \lambda y+x\in S}$.

Einzelnachweise

1. Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Geometric Integration Theory. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-0-8176-4679-0.