Gaußsches Maß

Als gaußsche Maße bezeichnet m​an die d​er Normalverteilung zugrundeliegenden Maße. Der Begriff w​ird insbesondere a​uf unendlichdimensionale Räume ausgedehnt. Separable Banachräume m​it gaußschen Maße n​ennt man abstrakte Wienerräume, welche v​on Leonard Gross eingeführt wurden. Jedoch betrachtete s​chon Norbert Wiener i​n seiner ursprünglichen Arbeit e​inen unendlichdimensionalen Raum, allerdings für reelle Funktionen über d​em Einheitsintervall.

Die Theorie d​er gaußschen Maße l​iegt zwischen d​er Stochastik u​nd der Funktionalanalysis. Sie h​at unter anderem Anwendungen i​m Malliavin-Kalkül, d​er Quantenfeldtheorie, d​er Finanzmathematik s​owie der statistischen Physik.

Analysis auf unendlichdimensionalen Räumen

Damit man die Analysis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auf unendlichdimensionalen Räumen fortsetzen kann, muss man beachten, dass auf solchen Räumen kein vernünftiges Lebesgue-Maß existiert. Mit dem Lemma von Riesz lässt sich zeigen, dass das einzige translationsinvariante Borel-Maß, welches dem offenen Ball ${\displaystyle B_{r}(x)}$ ein positives Maß zuordnet, das triviale Null-Maß ist.

Damit d​er Raum vernünftige topologische Eigenschaften hat, betrachtet m​an einen separablen Banachraum.

Gaußsche Maße

Gaußsche Maße auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nennt man gaußsches Maß mit Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, falls im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ für jede Borelmenge ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ gilt

${\displaystyle \gamma _{a,\sigma ^{2}}(B)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{B}e^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\mathrm {d} \lambda (x)}$.

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ ist das gaußsche Maß das Dirac-Maß ${\displaystyle \gamma =\delta _{a}}$.

Analog erhält man auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\|\cdot \|)}$ für ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})}$ das ${\displaystyle d}$-dimensionale gaußsche Maß

${\displaystyle \gamma _{a,\sigma ^{2}}^{(d)}(B)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{d}}}\int _{B}e^{-{\frac {\|(x-a)\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\mathrm {d} \lambda ^{d}(x)}$.

wobei ${\displaystyle \lambda ^{d}}$ das ${\displaystyle d}$-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. Man nennt ein gaußsches Maß zentriert wenn ${\displaystyle a=0}$, standard wenn zusätzlich ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$ und degeneriert wenn ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$.

Äquivalente Formulierung

Man nennt ein Borel-Maß ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, falls für jedes lineare Funktional ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ das Pushforward-Maß ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß ist.

Gaußsche Maße auf Banach-Räumen

Sei ${\displaystyle E}$ ein topologischer Vektorraum und ${\displaystyle \gamma }$ eine Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle E}$. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in E^{*}}$, ${\displaystyle x\in E\mapsto \langle x,f\rangle \in \mathbb {R} }$ eine gaußsche Zufallsvariable ist.

Das heißt also, das Pushforward-Maß ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ ist ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

In der Regel setzt man zusätzlich voraus, dass ${\displaystyle E}$ ein separabler Banachraum ist.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle f\in X^{*}}$, dann hat die Fourier-Transformation von ${\displaystyle \gamma }$ folgende Form

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(f)=e^{iL(f)-{\frac {1}{2}}B(f,f)}}$

wobei ${\displaystyle L}$ ein lineares Funktional ist und ${\displaystyle B}$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle X^{*}}$, so dass die quadratische Form ${\displaystyle f\mapsto B(f,f)}$ positiv ist.

Beispiele

Klassisches Wiener-Maß

Sei ${\displaystyle \Xi (\mathbb {R} ^{n})}$ der Raum aller stetigen Pfade ${\displaystyle \xi$ :[0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}} mit der Eigenschaft ${\displaystyle \xi (0)=0}$ und ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }|{\tfrac {\xi (t)}{t}}|=0}$. Weiter setzen wir voraus, dass ${\displaystyle \Xi (\mathbb {R} ^{n})}$ ein separabler Banachraum ist.

Die Verteilung der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-brownschen Bewegung induziert das klassische Wiener-Maß auf ${\displaystyle \Xi (\mathbb {R} ^{n})}$.

Weitere Beispiele

• Sei ${\displaystyle \gamma _{n}:=\gamma _{0,1}}$ ein standard gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dann ist das Produktmaß

${\displaystyle \gamma ^{(\infty )}=\bigotimes \limits _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}}$

ein zentriertes gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und weiter sei ${\displaystyle T=X^{*}}$. Wir definieren die Einbettung ${\displaystyle i:X\to \mathbb {R} ^{T}}$ durch ${\displaystyle x\to x(f):=f(x)}$ für jedes ${\displaystyle f\in T}$. Dann ist das Bild von ${\displaystyle \gamma }$ unter ${\displaystyle i}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{T}}$.

Literatur

• Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4.
• Daniel W. Stroock: Probability Theory: An Analytic View. Hrsg.: Cambridge University Press. 2010, ISBN 978-0-521-13250-3.