Eigentliche Abbildung

Eine eigentliche Abbildung i​st eine stetige Abbildung, d​ie in d​er mengentheoretischen Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, untersucht wird.

Definitionen

Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert v​on Autor z​u Autor. Hier werden deshalb z​wei gebräuchliche Definitionen vorgestellt.

• Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei lokalkompakten Räumen heißt eigentlich, wenn das Urbild jeder kompakten Menge kompakt ist.

Eine weitere u​nd allgemeinere Definition ist:

• Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ zwischen zwei topologischen Räumen heißt eigentlich, genau dann wenn für jeden beliebigen topologischen Raum Z die Abbildung ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z,(x,z)\mapsto (f(x),z)}$ abgeschlossen ist.

Die zweite Definition ist äquivalent zur ersten, wenn ${\displaystyle X}$ ein Hausdorff-Raum und ${\displaystyle Y}$ ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

• Ist die Definitionsmenge ${\displaystyle X}$ kompakt, so ist jede stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eigentlich.
• Jeder Homöomorphismus ist eigentlich, also auch jeder Diffeomorphismus und jede biholomorphe Abbildung.

Eigenschaften

• Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, das heißt, das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist abgeschlossen.
• Die Einschränkung ${\displaystyle f|A\colon A\to Y}$ eigentlicher Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ auf einen abgeschlossen Unterraum ${\displaystyle A\subseteq X}$ ist immer eigentlich.
• Die Komposition eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine Unterkategorie der Kategorie der stetigen Funktionen.
• Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}}$ topologische Räume und sind ${\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1},f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}}$ eigentliche Abbildungen, so ist ${\displaystyle f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}}$ wieder eine eigentliche Abbildung.
• Ist ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine eigentliche Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist ${\displaystyle B\subseteq Y}$ kompakt, so ist ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ kompakt in ${\displaystyle X}$.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Raum und ${\displaystyle Y}$ ein beliebiger topologischer Raum und ${\displaystyle X\times Y}$ das topologische Produkt, dann ist die Projektion ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y,(x,y)\mapsto y}$ eine eigentliche Abbildung.

Anwendungen

Eigentliche Abbildungen liefern ein Kriterium für die Kompaktheit eines topologischen Raumes: Sei ${\displaystyle P}$ ein einelementiger topologischer Raum mit der einzigen existierenden Topologie. Dann gilt: Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann kompakt, wenn die konstante Abbildung ${\displaystyle p\colon X\to P}$ eigentlich ist. Hieraus folgen die letzten beiden genannten Eigenschaften.

Literatur

• Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.