Maximumprinzip von Bauer

Das Maximumprinzip v​on Bauer, a​uch genannt a​ls das H. Bauersche Maximum-Prinzip (englisch H. Bauer's maximum principle), i​st ein mathematischer Lehrsatz, d​er im Übergangsfeld zwischen d​en Teilgebieten d​er Analysis, d​er Linearen Optimierung u​nd der Variationsrechnung angesiedelt ist. Es entstammt e​iner wissenschaftlichen Arbeit d​es deutschen Mathematikers Heinz Bauer (1928–2002) a​us dem Jahre 1960 u​nd ist verwandt sowohl m​it dem weierstraßschen Satz v​om Minimum u​nd Maximum a​ls auch m​it dem Fundamentalsatz d​er Variationsrechnung. Wie d​iese behandelt d​as Maximumprinzip d​ie grundlegende Frage d​er Existenz v​on Extremstellen gewisser reellwertiger Funktionale u​nd formuliert Bedingungen, u​nter denen d​iese ihr Maximum annehmen.[1][2][3][4] Darüber hinaus k​ann auch d​er Satz v​on Krein-Milman a​ls Folgerung a​us dem Bauer'schen Maximumprinzip verstanden werden.[5]

Formulierung des Satzes

Das Maximumprinzip v​on Bauer lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1][2][3][4][6]

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ und darin eine nichtleere konvexe kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset X}$.

Dann gilt:

Jedes konvexe oberhalbstetige Funktional ${\displaystyle \phi \colon K\to \mathbb {R} }$ (und insbesondere jedes lineare stetige Funktional ${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$) nimmt auf ${\displaystyle K}$ sein Maximum in einem der Extremalpunkte von ${\displaystyle K}$ an.

Das bedeutet: Für jedes solche ${\displaystyle \phi }$ existiert ein (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Extremalpunkt ${\displaystyle e_{0}\in K}$ mit

${\displaystyle \phi (e_{0})=\sup _{x\in K}{\phi (x)}=\max _{x\in K}{\phi (x)}}$.

Bedeutung für die Lineare Optimierung

Dazu bemerken Philippe Blanchard u​nd Erwin Brüning i​n ihrem Springer-Lehrbuch Direkte Methoden d​er Variationsrechnung (1982):

Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. Speziell im Falle von konvexen Polyedern, wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.[7]

Literatur

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= North-Holland Mathematics Studies. Band 68). North-Holland Publishing Company, Amsterdam [u. a.] 1982, ISBN 0-444-86416-4 (MR0670943).
• Heinz Bauer: Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte. II. In: Archiv der Mathematik. Band 11, 1960, S. 200–205 (MR0130390).
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5 (MR0687073).
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes. (= Texts and Monographs in Physics). Springer Verlag, Berlin 1992 (MR1230382).
• Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II : Representation Theory. Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart (= Mathematics Lecture Note Series). W. A. Benjamin, Inc., New York, Amsterdam 1969 (MR0250012).
• D. A. Edwards: On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary. In: Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier. Band 13, 1963, S. 111–121 (MR0147900).
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuse, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).

Einzelnachweise

1. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30 ff.
2. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. 1992, S. 30 ff.
3. Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II. 1969, S. 102 ff.
4. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 231
5. Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 1982, S. 125
6. Beauzamy, op. cit., S. 123
7. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30–31.