Parametrix

Eine Parametrix i​st ein Objekt a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Es findet insbesondere Verwendung i​n der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen u​nd ist e​ine Verallgemeinerung d​er Fundamentallösung e​ines Differentialoperators m​it konstanten Koeffizienten.

Definition

Eine Fundamentallösung eines Differentialoperators ${\displaystyle P(D)}$ mit konstanten Koeffizienten ist eine Distribution ${\displaystyle u}$, so dass

${\displaystyle P(D)u=\delta }$

im (distributionellen Sinn) gilt. Das Symbol ${\displaystyle \delta }$ bezeichnet hier die Deltadistribution.

Eine Parametrix des Differentialoperators ${\displaystyle P(D)}$ mit konstanten Koeffizienten ist eine Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$, so dass

${\displaystyle P(D)u=\delta +\omega }$

gilt, wobei ${\displaystyle \omega \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ eine glatte Funktion ist.

Insbesondere i​st die Fundamentallösung e​in Spezialfall d​er Parametrix. Die Parametrix i​st ein nützliches Konzept für d​ie Untersuchung v​on elliptischen Differentialoperatoren.

Pseudodifferentialoperatoren

In d​er Theorie d​er (hypo)elliptischen Pseudodifferentialoperatoren, w​ird der Begriff d​er Parametrix e​twas anders verwendet.

Sei also ${\displaystyle P}$ ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Ordnung ${\displaystyle k}$. Dann heißt ein Pseudodifferentialoperator ${\displaystyle Q}$ der Ordnung ${\displaystyle -k}$ Parametrix zu ${\displaystyle P}$, falls

${\displaystyle P\circ Q=I+R_{1}\quad {\text{und}}\ \quad Q\circ P=I+R_{2}}$

gilt. Dabei ist ${\displaystyle I}$ der identische Operator und ${\displaystyle R_{1}}$ und ${\displaystyle R_{2}}$ sind glättende Pseudodifferentialoperatoren, das heißt, sie haben die Ordnung ${\displaystyle -\infty }$.

Literatur

• Lars Hörmander: The analysis of linear partial differential operators I Grundl. Math. Wissenschaft. Vol. 256, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8
• Sh.A. Alimov: Parametrix method. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).