Folgenkompaktheit

In der Mathematik ist ein topologischer Raum folgenkompakt, wenn jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Metrische Räume sind genau dann folgenkompakt, wenn sie totalbeschränkt und vollständig, also kompakt sind. Daher sind Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann folgenkompakt (und kompakt), wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind. Es gibt topologische Räume, die folgenkompakt und nicht kompakt sind, und Räume, die nicht folgenkompakt, aber kompakt sind.

Definitionen

Konvergente Folgen in topologischen Räumen

Ist ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum, so konvergiert eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ gegen ${\displaystyle x\in X}$, wenn

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall i\geq n:\ d(x_{i},x)<\epsilon }$.

Das bedeutet, dass die Folge genau dann gegen ${\displaystyle x}$ konvergiert, wenn es für jede positive reelle Zahl ${\displaystyle \epsilon }$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ gibt, sodass alle Folgenglieder ab dem ${\displaystyle n}$-ten Glied einen Abstand von ${\displaystyle x}$ haben, der kleiner als ${\displaystyle \epsilon }$ ist.

In beliebigen topologischen Räumen treten die Umgebungen an Stelle der Bälle ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)=\{y\in X|d(y,x)<\epsilon \}}$. Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, so konvergiert eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ gegen ${\displaystyle x\in X}$, wenn es zu jeder Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt, sodass ${\displaystyle x_{i}\in U}$ gilt für alle ${\displaystyle i\geq n}$.

Folgenkompaktheit

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ wird folgenkompakt genannt, wenn jede Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ eine konvergente Teilfolge enthält. Entsprechend nennt man einen Teilraum ${\displaystyle K\subset X}$ folgenkompakt, wenn jede Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in K}$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in ${\displaystyle K}$ besitzt.

Metrische Räume

Ein metrischer Raum i​st genau d​ann folgenkompakt, w​enn er kompakt ist. Denn e​in metrischer Raum i​st genau d​ann kompakt, w​enn er total beschränkt u​nd vollständig ist.

Ist e​in metrischer Raum t​otal beschränkt, s​o enthält j​ede Folge e​ine Cauchy-Folge a​ls Teilfolge. Ist e​r zusätzlich vollständig, s​o konvergiert d​iese Folge. Ein kompakter metrischer Raum i​st daher folgenkompakt. Allgemeiner i​st jeder erstabzählbare kompakte Raum folgenkompakt.

Ist ein metrischer Raum umgekehrt folgenkompakt, so muss er total beschränkt sein, da man sonst ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ und eine Folge von Punkten finden könnte, die jeweils einen Abstand von ${\displaystyle \epsilon }$ haben, und daher keine konvergente Teilfolge haben würde. Der Raum muss außerdem vollständig sein, da eine konvergente Teilfolge einer Cauchy-Folge denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge haben muss.

Eigenschaften folgenkompakter Räume

Ein topologischer Raum w​ird abzählbar-kompakt genannt, w​enn jede Folge e​inen Häufungspunkt hat. Jeder folgenkompakte Raum i​st abzählbar kompakt. (Die Umkehrung g​ilt nicht.) Insbesondere i​st jeder folgenkompakte Raum a​uch schwach abzählbar kompakt u​nd pseudokompakt, d​a das a​uch jeder abzählbar kompakte Raum ist. Für metrische Räume fallen Kompaktheit, Folgenkompaktheit u​nd abzählbare Kompaktheit s​tets zusammen.[1]

Beispiele

Ein kompakter Hausdorff-Raum, der nicht folgenkompakt ist

Die Menge ${\displaystyle \{0,1\}}$, versehen mit der diskreten Topologie, ist kompakt, daher ist nach dem Satz von Tychonoff auch die Menge ${\displaystyle \{0,1\}^{[0,1]}}$ aller Funktionen von dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ nach ${\displaystyle \{0,1\}}$, versehen mit der Produkttopologie kompakt, außerdem ist dieser Raum hausdorffsch.

Dass ${\displaystyle \{0,1\}^{[0,1]}}$ mit der Produkttopologie versehen ist, bedeutet, dass eine Folge von Funktionen konvergiert, wenn sie punktweise konvergiert.

Dieser Raum i​st aber n​icht folgenkompakt:

Eine Folge v​on Funktionen, d​ie keine konvergente Teilfolge enthält, k​ann wie f​olgt definiert werden:

In d​er zum Dezimalbruch analogen Schreibweise i​m Dualsystem s​ind die Nachkommastellen e​iner reellen Zahl e​ine unendliche Folge v​on Nullen u​nd Einsen.

Die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ (a_{n}\in \{0,1\}^{[0,1]})}$ wird nun wie folgt definiert: ${\displaystyle a_{n}(x)}$ ist die ${\displaystyle n}$-te Nachkommastelle der Zahl ${\displaystyle x}$.

Zu einer Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{n\in \mathbb {N} }}$ kann nun wie folgt eine Zahl ${\displaystyle y}$ definiert werden. In der binären Kommadarstellung hat ${\displaystyle y}$ an der ${\displaystyle n_{k}}$-ten Stelle eine ${\displaystyle 0}$, wenn ${\displaystyle k}$ gerade ist und eine ${\displaystyle 1}$, wenn ${\displaystyle k}$ ungerade ist, an den weiteren Stellen eine ${\displaystyle 0}$. Das bedeutet, dass die Folge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{n\in \mathbb {N} }}$ nicht konvergiert, da im Punkt ${\displaystyle y}$ die Werte hin- und herspringen. Die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ kann also keine konvergente Teilfolge haben.

Da der Raum kompakt ist, besitzt die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ jedoch ein konvergentes Teilnetz.

Ein folgenkompakter Raum, der nicht kompakt ist

Die erste überabzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$ (also die überabzählbare Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$) ist durch die Relation ${\displaystyle <}$ (die ${\displaystyle \in }$-Relation) wohlgeordnet und trägt daher die Topologie dieser Ordnung.

Ist nun ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Ordinalzahlen, so ist die kleinste Ordinalzahl mit der Eigenschaft, dass nur endlich viele Folgenglieder größer als sie sind, ein Häufungspunkt dieser Folge und die Folge kann zu einer konvergenten Folge ausgedünnt werden. Der Raum ist daher abzählbar kompakt und folgenkompakt.

Die Familie ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\alpha =\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\{\beta \mid \beta <\alpha \}}$ von offenen Mengen überdeckt die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen. Eine endliche Teilfamilie enthält aber nur abzählbar viele Elemente von ${\displaystyle \omega _{1}}$. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ist daher nicht kompakt.

Dass die Menge ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ nicht kompakt ist, liegt daran, dass sie die Limesordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$ nicht enthält. Diese ist aber nicht der Limes einer abzählbaren Folge, sondern nur der Limes eines überabzählbaren Netzes (etwa gegeben durch alle abzählbaren Ordinalzahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge).

Siehe auch

• Satz von Eberlein–Šmulian
• Schwach folgenkompakte Menge
• Relative Folgenkompaktheit

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York 1978.
  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. Dover Publications, New York 1995, ISBN 0-486-68735-X (Neuauflage).

Einzelnachweise

1. Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 63–64.