Relative Folgenkompaktheit

Die relative Folgenkompaktheit i​st ein Begriff a​us der Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Er kombiniert d​ie beiden Eigenschaften Folgenkompaktheit u​nd relative Kompaktheit u​nd liefert d​amit die Existenz v​on Häufungspunkten i​m topologischen Abschluss.

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,\tau )}$. Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset X}$ heißt relativ folgenkompakt, wenn jede Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ aus Elementen von ${\displaystyle A}$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in deren topologischem Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ besitzt.

Präzisierungen

Um z​um Ausdruck z​u bringen, welche Topologie bzw. welcher Konvergenzbegriff z​u Grunde gelegt wird, w​ird gelegentlich e​in entsprechender Begriff vorangestellt. So spricht m​an beispielsweise v​on schwach relativ folgenkompakten Mengen, w​enn es s​ich dabei u​m schwache Konvergenz handelt, o​der von vage relativ folgenkompakten Mengen, w​enn es s​ich um vage Konvergenz handelt.

Sätze

• Der Satz von Bolzano-Weierstraß charakterisiert die relativ folgenkompakten Teilmengen der reellen und komplexen Zahlen.
• Der Auswahlsatz von Helly charakterisiert die vage relativ folgenkompakten Mengen von Verteilungsfunktionen und von endlichen Maßen auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit dem jeweils passenden vagen Konvergenzbegriff (vage Konvergenz von Verteilungsfunktionen bzw. vage Konvergenz (Maßtheorie)).
• Der Satz von Prochorow charakterisiert die schwach relativ folgenkompakten Mengen von Radonmaßen durch straffe Familien von Maßen.
• Für die schwache Topologie auf Banachräumen fallen relative Folgenkompaktheit und relative Kompaktheit nach dem Satz von Eberlein–Šmulian zusammen.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.