Cauchy-Folge

Eine Cauchy-Folge (bzw. Cauchyfolge), Cauchysche Folge o​der Fundamentalfolge i​st in d​er Mathematik e​ine Folge, b​ei der d​er Abstand d​er Folgenglieder i​m Verlauf d​er Folge beliebig k​lein wird. Cauchy-Folgen s​ind nach d​em französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt u​nd von grundlegender Bedeutung für d​en Aufbau d​er Analysis.

Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.
Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.

Der Grenzwert e​iner Cauchy-Folge reeller Zahlen i​st immer e​ine reelle Zahl. Der Grenzwert e​iner Cauchy-Folge rationaler Zahlen k​ann auch e​ine irrationale Zahl sein. Allgemein konvergieren g​enau dann a​lle Cauchy-Folgen v​on Elementen e​ines metrischen Raums, f​alls der Raum vollständig ist. Jeder unvollständige metrische Raum k​ann durch d​ie Bildung v​on Äquivalenzklassen v​on Cauchy-Folgen vervollständigt werden.

Cauchy-Folgen von Zahlen

Definition

Eine Folge rationaler oder reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem einen Index gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als

schreiben, wobei den Betrag einer Zahl darstellt.

Anmerkungen

  • In der Definition kann auch durch und auch durch ersetzt werden.
  • Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ein Intervall der Länge gibt, in dem fast alle Folgenglieder liegen.
  • Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für konvergente Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet.

Beispiele

  • Die Folge ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen ein so wählen, dass erfüllt ist. Sind nun beliebig gewählt, dann gilt
.
  • Die Folge ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu gewählt und eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man und wählen und es gilt immer[1]
.

Vollständigkeit

Es g​ibt Folgen rationaler Zahlen, d​eren Folgenglieder s​ich in d​er beschriebenen Weise häufen, o​hne aber e​inen Grenzwert i​n der Menge d​er rationalen Zahlen z​u haben. Ein Beispiel hierfür i​st die Folge rationaler Zahlen m​it der Bildungsvorschrift (siehe Heron-Verfahren)

.

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die irrationale Zahl und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der Vervollständigung des Zahlenbereichs auf die Menge der reellen Zahlen.

Cauchy-Folgen in metrischen Räumen

Definition

Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für metrische Räume , also beliebige Mengen , auf denen eine Metrik gegeben ist. Eine Folge von Elementen in heißt dann Cauchy-Folge, wenn

gilt.[2] Damit gibt es zu jedem reellen einen Index , so dass für alle natürlichen Zahlen der Abstand der entsprechenden Folgenglieder ist.

Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes gibt es einen Punkt und einen Index , so dass alle Folgenglieder ab in der offenen Kugel um den Punkt mit Radius liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt vom Radius abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert von unabhängig sein muss.

Hinweis: In einer Ultrametrik ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden.

Vollständigkeit

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge gegen einen Grenzwert , dann gibt es zu jedem einen Index , sodass für alle gilt. Mit der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dann für alle

und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von vollständigen Räumen führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen und von Elementen in als äquivalent angesehen, wenn

oder, w​as dasselbe ist,

.

Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in , dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich.

Siehe auch

Literatur

  • Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
  • Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8
  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: .
  2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.
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