Cauchy-Folge

Eine Cauchy-Folge (bzw. Cauchyfolge), Cauchysche Folge o​der Fundamentalfolge i​st in d​er Mathematik e​ine Folge, b​ei der d​er Abstand d​er Folgenglieder i​m Verlauf d​er Folge beliebig k​lein wird. Cauchy-Folgen s​ind nach d​em französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt u​nd von grundlegender Bedeutung für d​en Aufbau d​er Analysis.

Beispiel einer Cauchy-Folge: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge beliebig klein.

Beispiel einer Folge, die keine Cauchy-Folge ist: der Abstand der Folgenglieder wird im Verlauf der Folge nicht beliebig klein.

Der Grenzwert e​iner Cauchy-Folge reeller Zahlen i​st immer e​ine reelle Zahl. Der Grenzwert e​iner Cauchy-Folge rationaler Zahlen k​ann auch e​ine irrationale Zahl sein. Allgemein konvergieren g​enau dann a​lle Cauchy-Folgen v​on Elementen e​ines metrischen Raums, f​alls der Raum vollständig ist. Jeder unvollständige metrische Raum k​ann durch d​ie Bildung v​on Äquivalenzklassen v​on Cauchy-Folgen vervollständigt werden.

Cauchy-Folgen von Zahlen

Definition

Eine Folge ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ rationaler oder reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, wenn es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N}$ gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als ${\displaystyle \varepsilon }$ voneinander entfernt sind. Formal lässt sich diese Bedingung als

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$

schreiben, wobei ${\displaystyle |\cdot |}$ den Betrag einer Zahl darstellt.

Anmerkungen

• In der Definition kann ${\displaystyle \geq N}$ auch durch ${\displaystyle >N}$ und ${\displaystyle <\varepsilon }$ auch durch ${\displaystyle \leq \varepsilon }$ ersetzt werden.

• Äquivalent zu dieser Definition kann man auch fordern, dass es zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ${\displaystyle \varepsilon }$ ein Intervall der Länge ${\displaystyle 2\varepsilon }$ gibt, in dem fast alle Folgenglieder liegen.

• Diese Definition entspricht weitgehend der Definition für konvergente Folgen, ohne jedoch den Begriff des Grenzwertes einer Folge zu benutzen. Cauchy-Folgen wurden daher früher auch als „in sich konvergente Folgen“ oder „konzentrierte Folgen“ bezeichnet.

Beispiele

• Die Folge ${\displaystyle a_{i}={\tfrac {1}{i}}}$ ist eine Cauchy-Folge. Man kann nämlich zu einem beliebig vorgegebenen ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle N}$ so wählen, dass ${\displaystyle N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$ erfüllt ist. Sind nun ${\displaystyle n\geq m>N}$ beliebig gewählt, dann gilt

${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|<{\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon }$.

• Die Folge ${\displaystyle a_{i}=i}$ ist keine Cauchy-Folge. Sei dazu ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$ gewählt und ${\displaystyle N}$ eine beliebige natürliche Zahl. Dann kann man ${\displaystyle n=N+1}$ und ${\displaystyle m=n+1}$ wählen und es gilt immer[1]

${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=|m-n|=1\geq \varepsilon }$.

Vollständigkeit

Es g​ibt Folgen rationaler Zahlen, d​eren Folgenglieder s​ich in d​er beschriebenen Weise häufen, o​hne aber e​inen Grenzwert i​n der Menge d​er rationalen Zahlen z​u haben. Ein Beispiel hierfür i​st die Folge rationaler Zahlen m​it der Bildungsvorschrift (siehe Heron-Verfahren)

${\displaystyle a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}}$.

Diese Folge ist eine Cauchy-Folge, sie besitzt aber als Grenzwert die irrationale Zahl ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ und konvergiert daher innerhalb der Menge der rationalen Zahlen nicht. Die Problematik, dass in der Menge der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ viele Grenzwerte von Cauchy-Folgen nicht enthalten sind, führte zu der Idee der Vervollständigung des Zahlenbereichs auf die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen.

Cauchy-Folgen in metrischen Räumen

Definition

Allgemeiner definiert man den Begriff der Cauchy-Folge für metrische Räume ${\displaystyle (X,d)}$, also beliebige Mengen ${\displaystyle X}$, auf denen eine Metrik ${\displaystyle d}$ gegeben ist. Eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von Elementen in ${\displaystyle X}$ heißt dann Cauchy-Folge, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }$

gilt.[2] Damit gibt es zu jedem reellen ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N}$, so dass für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle m,n\geq N}$ der Abstand der entsprechenden Folgenglieder ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }$ ist.

Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist: Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt es einen Punkt ${\displaystyle a}$ und einen Index ${\displaystyle N}$, so dass alle Folgenglieder ab ${\displaystyle x_{N}}$ in der offenen Kugel ${\displaystyle B_{\varepsilon }(a)}$ um den Punkt ${\displaystyle a}$ mit Radius ${\displaystyle \varepsilon }$ liegen. Diese Version unterscheidet sich nur dadurch von der Konvergenzdefinition, dass hier der Mittelpunkt ${\displaystyle a}$ vom Radius ${\displaystyle \varepsilon }$ abhängen darf, während bei der Konvergenz der Grenzwert ${\displaystyle a}$ von ${\displaystyle \varepsilon }$ unabhängig sein muss.

Hinweis: In einer Ultrametrik ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden.

Vollständigkeit

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge. Konvergiert nämlich eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ gegen einen Grenzwert ${\displaystyle x\in X}$, dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, sodass ${\displaystyle d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}}$ für alle ${\displaystyle n\geq N}$ gilt. Mit der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dann für alle ${\displaystyle m,n\geq N}$

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}+{\tfrac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$

und die Folge ist somit eine Cauchy-Folge. Die umgekehrte Richtung muss jedoch nicht notwendigerweise wahr sein, was letztendlich zur Einführung von vollständigen Räumen führte. In einem vollständigen Raum besitzt definitionsgemäß jede Cauchy-Folge einen Grenzwert und der Begriff der konvergenten Folge fällt mit dem Begriff der Cauchy-Folge zusammen. Jeder unvollständige metrische Raum kann jedoch durch die Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden. Dabei werden zwei Cauchy-Folgen ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von Elementen in ${\displaystyle X}$ als äquivalent angesehen, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},y_{n})<\varepsilon }$

oder, w​as dasselbe ist,

${\displaystyle \lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})=0}$.

Liegt der Grenzwert einer der beiden Folgen in ${\displaystyle X}$, dann auch der der anderen, und die beiden Grenzwerte sind gleich.

Siehe auch

• Cauchy-Kriterium
• Cauchy-Netz

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Um einen Gegenbeweis zu führen, muss man die Definition umkehren: ${\displaystyle \exists \varepsilon >0~\forall N\in \mathbb {N} ~\exists m,n\geq N\colon \left|a_{m}-a_{n}\right|\geq \varepsilon }$.
2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2005, S. 2.