Flächensatz von Bieberbach

Zu d​en zahlreichen Resultaten, d​ie der Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) a​uf dem mathematischen Gebiet d​er Funktionentheorie beigetragen hat, gehört e​in Lehrsatz, d​er von manchen Autoren a​ls Flächensatz v​on Bieberbach bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert e​ine mathematische Formel für d​en Flächeninhalt d​er Bildmenge e​iner Kreisscheibe i​n der komplexen Zahlenebene u​nter einer schlichten holomorphen Funktion.[1]

Formulierung des Satzes

Der bieberbachsche Flächensatz lässt s​ich wie f​olgt formulieren:[1]

Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den Nullpunkt ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ enthaltende offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ und darin enthalten für eine reelle Zahl ${\displaystyle r>0}$ die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\displaystyle {\bar {S}}(0,r)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq r\,\}}$ vom Radius ${\displaystyle r}$.[A 1]

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion ${\displaystyle w\colon U\to \mathbb {C} }$ , welche für ${\displaystyle z\in {\bar {S}}(0,r)}$ stets die Taylorreihenentwicklung ${\displaystyle w(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}z^{n}}\;(c_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )}$ haben soll.

Dann lässt sich der Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ der Bildmenge ${\displaystyle w\left({\bar {S}}(0,r)\right)}$ nach der Formel

${\displaystyle A=\pi \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |c_{n}|^{2}\cdot r^{2n}}}$

berechnen.

Verwandter Flächensatz

Mit d​em obigen Flächensatz v​on Bieberbach e​ng verwandt i​st ein weiterer a​ls Flächensatz (englisch area theorem) bekannter Lehrsatz, welcher Einar Hille zufolge v​on Thomas Hakon Grönwall i​m Jahre 1914 gefunden wurde.[2] Dieser Flächensatz lässt s​ich folgendermaßen angeben:[3][2][A 2][2][A 3]

Gegeben sei in der komplexen Ebene das Gebiet ${\displaystyle G:=\mathbb {C} \setminus {\bar {S}}(0,1)}$ , also das Äußere des abgeschlossenen Einheitskreises.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion ${\displaystyle w\colon G\to \mathbb {C} }$ , welche für ${\displaystyle z\in G}$ stets die Darstellung ${\displaystyle w(z)=z+b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{z^{n}}}\;(b_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )}$ haben und deren Bildmenge ${\displaystyle w(G)\,}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle \infty }$ sein soll.

Dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |b_{n}|^{2}}\leq 1}$.

Literatur

• Ravi P. Agarwal, Kanishka Perera, Sandra Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. Springer-Verlag, New York 2011, ISBN 978-1-4614-0194-0 (MR2809236).
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965.
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973.
• Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121 (MR0640086).
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1965 (MR0201609).

Anmerkungen

1. ${\displaystyle |\cdot |}$ ist die komplexe Betragsfunktion.
2. In der englischsprachigen Fachliteratur wird von manchen Autoren dieser verwandte Flächensatz auch als Bieberbach's Area Theorem (deutsch Bieberbach'scher Flächensatz) genannt. Vgl. Agarwal / Perera / Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. 2011, S. 308!
3. Dieser Flächensatz wird in der Theorie der schlichen Funktionen noch weiter verallgemeinert. Vgl. Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121!

Einzelnachweise

1. Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie. 1965, S. 208
2. Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 1973, S. 347
3. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 1965, S. 393