Elliptische partielle Differentialgleichung

Elliptische partielle Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse partieller Differentialgleichungen (PDG). Sie werden mit Hilfe von elliptischen Differentialoperatoren formuliert. Die Lösungen einer elliptischen partiellen Differentialgleichung ${\displaystyle Pu=f}$ haben bestimmte Eigenschaften, welche hier näher erläutert werden. Der Laplace-Operator ist der wohl bekannteste elliptische Differentialoperator, und die Poisson-Gleichung ist die dazugehörige partielle Differentialgleichung.

Physikalische Interpretation

Die elliptische Differentialgleichung i​st eine Verallgemeinerung d​er Laplace-Gleichung u​nd der Poisson-Gleichung. Eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung h​at die Form

${\displaystyle P(u)(x)=\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i},x_{j}}^{2}u(x)+\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i}}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$,

worin die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{ij}}$, ${\displaystyle b_{i}}$ und ${\displaystyle c}$ geeigneten Bedingungen genügen müssen.

Solche Differentialgleichungen treten typischerweise i​m Zusammenhang m​it stationären (zeitunabhängigen) Problemen auf. Sie beschreiben oftmals e​inen Zustand minimaler Energie. Die erwähnten Laplace- u​nd Poisson-Gleichungen beschreiben e​twa die Temperaturverteilung i​n einem Körper o​der auch d​ie elektrostatische Ladungsverteilung i​n einem Körper. Andere elliptische Differentialgleichungen werden z​um Beispiel z​ur Untersuchung d​er Konzentration v​on bestimmten chemischen Stoffen verwendet. Die Terme d​er Ordnung z​wei beschreiben d​abei die Diffusion. Die Terme erster Ordnung beschreiben d​en Transport, u​nd der Term d​er Ordnung n​ull beschreibt d​ie lokale Ab- u​nd Zunahme.

Nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen treten außerdem i​n der Variationsrechnung u​nd der Differentialgeometrie auf.

Definition

Elliptischer Differentialoperator

Ein Differentialoperator ${\displaystyle \textstyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial _{x}^{\alpha }u(x)}$, notiert in Multiindexschreibweise, der Ordnung ${\displaystyle m}$ auf einem Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt im Punkt ${\displaystyle y\in \Omega }$ elliptisch, falls für alle ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}}$ gilt

${\displaystyle P_{m}(y,\xi ):=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(y)\xi ^{\alpha }\neq 0\ .}$

Man nennt ${\displaystyle \ P_{m}}$ das Hauptsymbol von ${\displaystyle P}$. Ein Differentialoperator heißt elliptisch, falls er für alle ${\displaystyle y\in \Omega }$ elliptisch ist.

Elliptische Differentialgleichung

Sei ${\displaystyle P}$ ein elliptischer Differentialoperator und ${\displaystyle f}$ eine Funktion, dann heißt die Gleichung

${\displaystyle Pu=f}$

elliptische Differentialgleichung und ${\displaystyle u}$ ist die gesuchte Funktion in dieser Differentialgleichung.

Gleichmäßig elliptischer Differentialoperator

Ein Differentialoperator ${\displaystyle P}$ heißt gleichmäßig elliptisch in ${\displaystyle U}$, wenn es ein ${\displaystyle c>0}$ gibt, so dass

${\displaystyle |P_{m}(y,\xi )|\geq c|\xi |^{m}}$

für alle ${\displaystyle (y,\xi )\in U\times \mathbb {R} ^{n}}$ gilt.

Hypo-elliptischer Differentialoperator

Ein Operator ${\displaystyle \textstyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }}$ mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle a_{\alpha }\in \mathbb {C} }$ heißt hypo-elliptisch, wenn es ein ${\displaystyle C>0}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle |\xi |\geq C}$ und alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ gilt:

• ${\displaystyle P(\xi )\neq 0}$ und
• ${\displaystyle |D^{\alpha }P(\xi )|\leq C|P(\xi )|\cdot |\xi |^{-|\alpha |}}$.

Allgemeiner heißt ein Differentialoperator ${\displaystyle P(D)}$ auf einer offenen Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ mit nicht notwendigerweise konstanten Koeffizienten hypo-elliptisch, falls für jede Menge ${\displaystyle U'\subset U}$ offen, beschränkt und jede Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(U')}$ die Implikation

${\displaystyle Pu\in C^{\infty }(U')\quad \Rightarrow \quad u\in C^{\infty }(U')}$

gilt. In Worten: Ist das Bild im Distributionensinne des Differentialoperators ${\displaystyle P}$ unendlich oft differenzierbar, so gilt dies bereits für die Urbilder.

Im Gegensatz z​um gleichmäßig elliptischen Differentialoperator i​st der hypo-elliptische Differentialoperator e​ine Verallgemeinerung d​es elliptischen Differentialoperators. Diese Forderung a​n den Differentialoperator i​st also schwächer. Siehe hierzu d​ie Regularitätstheorie elliptischer Operatoren weiter unten.

Namensherkunft

Das Adjektiv elliptisch in der Bezeichnung elliptische partielle Differentialgleichung stammt aus der Theorie der Kegelschnitte. In dieser Theorie wird im Fall ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$ die Lösungsmenge, der Gleichung

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

Ellipse genannt. Betrachtet m​an nun d​ie homogene Differentialgleichung

${\displaystyle A\partial _{x_{1},x_{1}}^{2}u(x)+B\partial _{x_{1},x_{2}}^{2}u(x)+C\partial _{x_{2},x_{2}}^{2}u(x)+D\partial _{x_{1}}u(x)+E\partial _{x_{2}}u(x)+Fu(x)=0}$

zweiter Ordnung in zwei Dimensionen mit konstanten Koeffizienten, so ist diese genau dann gleichmäßig elliptisch, wenn ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$ gilt.

Beispiele

• Das wohl wichtigste Beispiel eines gleichmäßig elliptischen Differentialoperators ist der Laplace-Operator

${\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{j=1}^{n}\partial _{x_{j}x_{j}}^{2}u(x),}$

dessen Hauptsymbol ${\displaystyle P_{2}(y,\xi )=((-1)\cdot \xi _{1}^{2}+\ldots +(-1)\cdot \xi _{n}^{2})=-|\xi |^{2}}$ ist. Funktionen, welche die Laplace-Gleichung ${\displaystyle \Delta u=0}$ erfüllen, heißen harmonisch und haben einige besondere Eigenschaften, so zum Beispiel, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Man hat nun die Hoffnung, dass sich diese Eigenschaften auf „ähnliche“ Differentialoperatoren übertragen lassen.

• Der Cauchy-Riemann-Operator

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

ist gleichmäßig elliptisch, denn sein Hauptsymbol lautet ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(i\xi _{1}-\xi _{2}\right)}$.

• Der parabolische partielle Differentialoperator ${\displaystyle P=D_{t}-\Delta _{x}}$ ist hypo-elliptisch, allerdings nicht gleichmäßig elliptisch. Die parabolische Differentialgleichung ${\displaystyle Pu=0}$ heißt Wärmeleitungsgleichung.

Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Im Folgenden werden die wichtigsten Aussagen für elliptische Differentialoperatoren der Ordnung zwei in ${\displaystyle n}$ Dimensionen aufgezeigt. Sei deshalb

${\displaystyle P(u)(x)=\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i},x_{j}}^{2}u(x)+\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i}}u(x)+c(x)u(x)}$

ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Außerdem sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene, zusammenhängende, beschränkte Teilmenge mit Lipschitz-Rand.

Existenzaussage

Es seien die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c}$ allesamt messbare und beschränkte Funktionen. Dann existiert für jedes ${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$ eine eindeutige schwache Lösung ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$ des Dirichlet-Randwertproblems

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{cc}Pu=f&{\text{in}}\ U\\u=0&{\text{in}}\ \partial U,\end{array}}\right.}$

falls die zum Differentialoperator ${\displaystyle P}$ assoziierte Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ koerziv ist. Hierbei ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}:H_{0}^{1}(U)\times H_{0}^{1}(U)\rightarrow \mathbb {R} }$ definiert vermöge

${\displaystyle {\mathcal {P}}(u,\varphi ):=\int _{U}\left(-\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\partial _{x_{j}}\varphi (x)\right)+\left(\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\varphi (x)\right)+c(x)u(x)\varphi (x){\rm {d}}x}$.

Mit dem Lemma von Lax-Milgram folgert man die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung ${\displaystyle u}$ aus der Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Ist ${\displaystyle P}$ gleichmäßig elliptisch, so ist die assoziierte Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ immer koerziv. Verwendet man statt einer Dirichlet-Randbedingung eine Neumann-Randbedingung, so existiert, falls die assoziierte Bilinearform wieder koerziv ist, genau eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, was sich fast genauso beweisen lässt.

Regularität

Seien ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c\in C^{\infty }(U)}$ für alle ${\displaystyle i,j}$, und sei außerdem ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ und ${\displaystyle u\in H^{1}(U)}$ eine schwache Lösung der elliptischen Differentialgleichung

${\displaystyle Pu=f\ {\text{in}}\ U}$.

Dann gilt ${\displaystyle u\in C^{\infty }(U)}$.

Maximumprinzip

Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei ${\displaystyle c\geq 0}$ in ${\displaystyle U}$ und sei ${\displaystyle u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})}$.

1. Falls

${\displaystyle Pu\leq 0\ {\text{in}}\ U}$

gilt und ${\displaystyle u}$ ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von ${\displaystyle {\overline {U}}}$ annimmt, dann ist ${\displaystyle u}$ konstant.

2. Falls

${\displaystyle Pu\geq 0\ {\text{in}}\ U}$

gilt und ${\displaystyle u}$ ein nichtpositives Minimum in einem inneren Punkt von ${\displaystyle {\overline {U}}}$ annimmt, dann ist ${\displaystyle u}$ konstant.

Eigenwertprobleme

Man betrachte d​as Randwertproblem

${\displaystyle Pu=\lambda u\ {\text{in}}\ U}$

${\displaystyle \ u=0\ {\text{in}}\ \partial U,}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ ein Eigenwert des Differentialoperators ${\displaystyle P}$ ist. Außerdem sei ${\displaystyle P}$ symmetrischer Differentialoperator.

1. Dann sind alle Eigenwerte ${\displaystyle P}$ reell.

2. Außerdem h​aben alle Eigenwerte dasselbe Vorzeichen u​nd haben n​ur endliche Vielfachheit.

3. Schlussendlich existiert eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ von ${\displaystyle L^{2}(U)}$ mit ${\displaystyle w_{k}\in H_{0}^{1}(U)}$ als Eigenfunktion zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{k}}$.

Theorie der elliptischen Pseudodifferentialoperatoren

Definition

Ein Pseudodifferentialoperator heißt elliptisch, falls sein Symbol ${\displaystyle p\in S_{cl}^{m}(X)}$ eigentlich getragen und das homogene Hauptsymbol gleichmäßig elliptisch ist – oder äquivalent dazu, falls in einer konischen Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$ für das echte Symbol die Ungleichung ${\displaystyle |a(x,\xi )|\geq {\tfrac {1}{C}}(1+|\xi |)^{m}}$ für eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ für ${\displaystyle (x,\xi )\in V}$ und ${\displaystyle |\xi |\geq C}$ gilt.[1]

Invertierbarkeit

Sei ${\displaystyle P\in \Psi _{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und ${\displaystyle \rho >\delta }$, dann existiert ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator ${\displaystyle Q\in \Psi _{\rho ,\delta }^{-m}(X)}$, so dass

${\displaystyle (P\circ Q)(u)=(Q\circ P)(u)=I(u)+R(u)}$

gilt. Dabei ist ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator, und ${\displaystyle R\in \Psi _{\rho ,\delta }^{-\infty }(X)}$ ist ein Operator, welcher jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet. Diesen Operator ${\displaystyle Q}$ nennt man Parametrix. Der Operator ${\displaystyle P}$ kann also modulo ${\displaystyle \Psi _{\rho ,\delta }^{-\infty }(X)}$ invertiert werden. Diese Eigenschaft macht den elliptischen Pseudodifferentialoperator und damit als Spezialfall den elliptischen Differentialoperator zu einem Fredholm-Operator.

Singulärer Träger

Sei ${\displaystyle P\in \Psi _{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ wieder ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und ${\displaystyle \rho >\delta }$. Dann gilt für jede Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$

${\displaystyle \operatorname {sing\ supp} (Pu)=\operatorname {sing\ supp} (u).}$

Der singuläre Träger e​iner Distribution verändert s​ich also nicht.

Literatur

• Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 151–181.
• Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2.
• Alain Grigis & Johannes Sjöstrand – Microlocal Analysis for Differential Operators, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3.

Einzelnachweise

1. Alain Grigis, Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, S. 41.