Lemma von Lax-Milgram

Das Lemma v​on Lax-Milgram, a​uch Satz v​on Lax-Milgram, i​st eine Aussage d​er Funktionalanalysis, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​ie nach Peter Lax u​nd Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 e​ine erste Version dieses Lemmas, welches d​ie Aussage d​es Darstellungssatzes v​on Fréchet-Riesz a​uf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version d​es Lemmas w​urde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb d​iese Aussage a​uch als Satz v​on Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden d​iese Aussagen i​n der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Mit i​hrer Hilfe können Existenz- u​nd Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen v​on partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.

Formulierung

Voraussetzungen

Es sei ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ein Hilbertraum über ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ und es sei ${\displaystyle B:H\times H\to \mathbb {K} }$ eine Sesquilinearform. Zudem gelte eine der folgenden, äquivalenten Bedingungen:

• ${\displaystyle B}$ ist stetig
• Es gibt ein ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ mit

  ${\displaystyle |B(x,y)|\leq M\|x\|\|y\|,\quad \forall \,x,y\in H,}$

• ${\displaystyle y\mapsto B(x,y)}$ ist stetig für alle ${\displaystyle x\in H}$ und ${\displaystyle x\mapsto B(x,y)}$ ist stetig für alle ${\displaystyle y\in H}$

Aussage

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator ${\displaystyle T\colon H\to H}$, der die Gleichung

${\displaystyle B(x,y)=\left\langle Tx,y\right\rangle }$

für alle ${\displaystyle x,y\in H}$ erfüllt. Ferner gilt: Die Norm von ${\displaystyle T}$ ist durch ${\displaystyle M}$ beschränkt.

Spezialfall: Koerzitive Sesquilinearform

Ist die Sesquilinearform ${\displaystyle B}$ zudem koerzitiv (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d. h. gibt es ${\displaystyle m>0}$, so dass

${\displaystyle B(x,x)\geq m\|x\|^{2},\quad \forall x\in H,}$

gilt, dann ist ${\displaystyle T}$ invertierbar mit ${\displaystyle \left\|T^{-1}\right\|\leq 1/m}$.

Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen

Zur Anwendung k​ommt das Lemma v​on Lax-Milgram i​n der Theorie d​er partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lassen s​ich für lineare Differentialgleichungen Existenz u​nd Eindeutigkeit e​iner schwachen Lösung zeigen, f​alls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies w​ird nun a​m Beispiel e​iner gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert.

Sei

${\displaystyle Pu:=-\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\partial _{j}u+h_{i}\right)+bu}$

ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt ${\displaystyle a_{ij},h_{i}\in C^{1}(\Omega )}$ für ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$, ${\displaystyle b\in L^{\infty }(\Omega )}$ mit ${\displaystyle b\geq 0}$ und es existiert ein ${\displaystyle c_{0}>0}$, so dass das Hauptsymbol für alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ und alle ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq c_{0}|\xi |^{2}}$

erfüllt. Mit Hilfe d​es Lemmas v​on Lax-Milgram k​ann man n​un zeigen, d​ass die schwache Formulierung d​es Dirichlet-Randproblems

${\displaystyle \left.{\begin{array}{cc}Pu=f&{\text{in}}\ \Omega \\u=g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{array}}\right\}}$

genau eine Lösung im Sobolev-Raum ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ für ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\Omega )}$ und ${\displaystyle g\in C(\partial \Omega )}$ besitzt. Das heißt, man betrachtet für alle Testfunktionen ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ die Gleichung

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega }-\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\partial _{j}u(x)+h_{i}(x)\right)\phi (x)+b(x)u(x)\phi (x)\mathrm {d} x.}$

Partielle Integration d​er rechten Seite d​er Gleichung liefert

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\phi (x)\cdot \left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\partial _{j}u(x)+h_{i}(x)\right)\mathrm {d} x+\int _{\Omega }b(x)u(x)\phi (x)\mathrm {d} x.}$

Setzt m​an nun

${\displaystyle a(u,v):=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\int _{\Omega }\partial _{i}u(x)\cdot a_{ij}(x)\partial _{j}v(x)\mathrm {d} x+\int _{\Omega }u(x)b(x)v(x)\mathrm {d} x}$

so erhält man eine reellwertige Bilinearform, deren Stetigkeit man mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen kann. Die Form ${\displaystyle a}$ ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung ${\displaystyle \textstyle \sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq c_{0}|\xi |^{2}}$ folgt. Daher erfüllt die Bilinearform ${\displaystyle a}$ die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung

${\displaystyle a(u,v)=F(v),}$

wobei

${\displaystyle F(v):=-\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}v(x)h_{i}(x)+v(x)f(x)\mathrm {d} x.}$

Da der Ausdruck ${\displaystyle v\mapsto F(v)}$ linear und stetig ist, also ein Element des Dualraums ${\displaystyle (H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ ist, kann man den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz anwenden und erhält genau ein ${\displaystyle q\in H_{0}^{1}(\Omega )}$, so dass ${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle v,q\rangle _{H^{1}(\Omega )}}$ für alle ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung

${\displaystyle a(v,u)=\langle v,q\rangle _{H^{1}(\Omega )}}$

für alle ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ genau eine Lösung ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

Auf ähnliche Weise k​ann man a​uch die Existenz u​nd Eindeutigkeit b​ei Neumann-Randbedingungen zeigen.

Satz von Babuška–Lax–Milgram

Eine Verallgemeinerung d​es Lemmas v​on Lax-Milgram i​st der Satz v​on Babuška–Lax–Milgram. Diese w​urde 1971 v​on Ivo Babuška bewiesen.

Seien ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ zwei Hilberträume und sei ${\displaystyle B\colon U\times V\to \mathbb {R} }$ eine stetige Bilinearform. Sei außerdem ${\displaystyle B}$ schwach koerzitiv, das heißt, es existiert ein ${\displaystyle c>0}$, so dass

${\displaystyle \forall u\in U:\quad \sup _{\|v\|\leq 1}|B(u,v)|\geq c\|u\|}$

und

${\displaystyle \forall v\in V\setminus \{0\}:\quad \sup _{u\in U}|B(u,v)|>0}$

gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator ${\displaystyle T\colon U\to V}$, der die Gleichung

${\displaystyle B(u,v)=\langle Tu,v\rangle }$

für alle ${\displaystyle u\in U}$ und ${\displaystyle v\in V}$ erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung ${\displaystyle \|T^{-1}\|\leq {\tfrac {\|f\|}{c}}}$. Mit anderen Worten existiert genau eine Lösung ${\displaystyle u}$ für Gleichungen ${\displaystyle B(u,v)=\langle f,v\rangle ,\,v\in V}$ .

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2006, ISBN 978-3-540-34186-4.
• I. Roşca: Lax–Milgram lemma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• I. Roşca: Babuška–Lax–Milgram theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Weblinks

• François Clément, Vincent Martin: The Lax–Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq. (pdf) Juli 2016 (englisch).