Eigenschaft R

Eigenschaft R ist eine Eigenschaft von Knoten, die nach Gabai's Property R Theorem (vormals Property R conjecture) allen Knoten zukommt und die besagt, dass 0-Chirurgie an einem Knoten nur für den Unknoten ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ergibt. Diese Eigenschaft ist in der niedrig-dimensionalen Topologie von Bedeutung, unter anderem bei der Berechnung von Seiberg-Witten-Floer-Homologie- und Heegaard-Floer-Homologie-Gruppen.

Unknoten

Motivation

Dehn-Chirurgie ist ein auf Max Dehn zurückgehendes Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten (oder eine aus mehreren Knoten bestehende Verschlingung) herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird. Nach dem Satz von Lickorish-Wallace erhält man jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit durch Dehn-Chirurgie an einer geeigneten Verschlingung.

Im Allgemeinen kann man ein und dieselbe 3-Mannigfaltigkeit auf unterschiedliche Weisen durch Dehn-Chirurgien an unterschiedlichen Verschlingungen konstruieren. Zum Beispiel liefert die "triviale" ${\displaystyle \infty }$-Chirurgie an einer beliebigen Verschlingung stets wieder die 3-Sphäre.

Dagegen kann man die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ nur auf eine Weise durch 0-Chirurgie an einem Knoten konstruieren, nämlich durch die 0-Chirurgie am Unknoten. Diese Tatsache wird als Eigenschaft R bezeichnet, sie wurde ursprünglich 1974 von Valentin Poénaru vermutet und 1987 von Gabai bewiesen. Sie impliziert einige von Poénaru aufgestellte Vermutungen über 3- und 4-Mannigfaltigkeiten.

Gabai's Property R Theorem

Sei ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ein Knoten und ${\displaystyle M_{K}(0)}$ die durch Dehn-Chirurgie am Knoten ${\displaystyle K}$ mit Koeffizienten 0 (kurz: 0-Chirurgie) erhaltene 3-Mannigfaltigkeit.

Wenn ${\displaystyle K}$ nicht der Unknoten ist, dann ist ${\displaystyle M_{K}(0)}$ nicht homöomorph zu ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$.

Beweisstrategie

Gabai beweist, dass es eine straffe Blätterung des Knotenkomplements gibt, die den Randtorus in Longituden schneidet. In der durch 0-Chirurgie erhaltenen 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M_{K}(0)}$ beranden diese Longituden disjunkte Kreisscheiben, man erhält also eine straffe Blätterung von ${\displaystyle M_{K}(0)}$. Mit dem Satz von Novikov folgt daraus die Irreduzibilität von ${\displaystyle M_{K}(0)}$, insbesondere ist ${\displaystyle M_{K}(0)\not =S^{2}\times S^{1}}$.[1]

Andere Beweise stammen v​on Gordon-Luecke[2] u​nd Parry[3].

Verallgemeinerung

Sei ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ein Knoten und ${\displaystyle M_{K}(r)}$ die durch Dehn-Chirurgie am Knoten ${\displaystyle K}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ erhaltene 3-Mannigfaltigkeit.

Wenn ${\displaystyle K}$ nicht der Unknoten ${\displaystyle U}$ ist, dann ist ${\displaystyle M_{K}(r)}$ nicht orientierungserhaltend homöomorph zu ${\displaystyle M_{U}(r)}$.[4]

Siehe auch

• Eigenschaft P

Literatur

• Kapitel 7.4 in Jennifer Schultens: Introduction to 3-manifolds. Graduate Studies in Mathematics, 151. American Mathematical Society, Providence, RI, 2014. ISBN 978-1-4704-1020-9

Einzelnachweise

1. David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. III. J. Differential Geom. 26 (1987), no. 3, 479–536.
2. Cameron Gordon, John Edwin Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.
3. Walter Parry: All types implies torsion. Proc. Amer. Math. Soc. 110 (1990), no. 4, 871–875.
4. Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka, Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: Monopoles and lens space surgeries. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 2, 457–546.