Divisor

Der Begriff d​es Divisors spielt i​n der algebraischen Geometrie u​nd der komplexen Analysis e​ine wichtige Rolle b​ei der Untersuchung algebraischer Varietäten bzw. komplexer Mannigfaltigkeiten u​nd der darauf definierten Funktionen. Unterschieden werden müssen d​abei der Weil-Divisor u​nd der Cartier-Divisor, welche i​n bestimmten Fällen übereinstimmen.

Ursprünglich k​ommt dem Divisor i​m eindimensionalen Fall d​ie Bedeutung zu, d​ie Null- u​nd Polstellenmenge e​iner rationalen bzw. meromorphen Funktion vorzuschreiben, u​nd es stellt s​ich die Frage, für welche Divisoren e​ine solche Realisierung möglich ist, w​as eng m​it der Geometrie d​er Varietät bzw. Mannigfaltigkeit verknüpft ist.

Eindimensionaler Fall

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet oder eine riemannsche Fläche. Eine Abbildung ${\displaystyle D\colon \Omega \rightarrow \mathbb {Z} }$ heißt Divisor in ${\displaystyle \Omega }$, falls ihr Träger ${\displaystyle T:=\{z\in \Omega \,:\,D(z)\neq 0\}}$ in ${\displaystyle \Omega }$ abgeschlossen und diskret ist. Die Menge aller Divisoren auf ${\displaystyle \Omega }$ bildet bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, die mit ${\displaystyle \operatorname {Div} (\Omega )}$ bezeichnet wird. Auf dieser Gruppe führt man eine partielle Ordnung ein. Seien ${\displaystyle D,D'\in \operatorname {Div} (\Omega )}$, dann setzt man ${\displaystyle D\leq D'}$, falls ${\displaystyle D(x)\leq D'(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ gilt.

Hauptdivisor

Zu jeder von Null verschiedenen meromorphen Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }$ kann ein Divisor ${\displaystyle (f)}$ definiert werden, indem der Divisor jedem Punkt aus ${\displaystyle \Omega }$ die Null- beziehungsweise die Polstellenordnung zuordnet:

${\displaystyle \left(f\right)(x):={\begin{cases}0,&f{\mbox{ holomorph und nicht Null in }}x\\k,&f{\mbox{ hat eine Nullstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\\-k,&f{\mbox{ hat eine Polstelle von Ordnung }}k{\mbox{ in }}x\end{cases}}}$

Ein Divisor, d​er gleich d​em Divisor e​iner meromorphen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Der weierstraßsche Produktsatz besagt, dass in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. In einer kompakten, riemannschen Fläche gilt dies jedoch nicht mehr und ist vom Geschlecht der Fläche abhängig. Dies wird im Artikel Satz von Riemann-Roch näher erläutert.

Algebraische Kurven

Sei ${\displaystyle C}$ eine ebene algebraische Kurve. Eine formale Summe ${\displaystyle \textstyle \sum _{P\in C}a_{P}\cdot P,\;a_{P}\in \mathbb {Z} }$ heißt Divisor in ${\displaystyle C}$, falls ${\displaystyle a_{P}=0}$ außer für endlich viele ${\displaystyle P}$. Durch punktweise Addition wird die Menge aller Divisoren in ${\displaystyle C}$ zu einer freien abelschen Gruppe.

Analog z​ur o. g. Definition definiert m​an für e​ine rationale Funktion d​en Divisor d​er Funktion. Ein Divisor, d​er gleich d​em Divisor e​iner rationalen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Im Falle ${\displaystyle C=\mathbb {C} }$ ist für einen Divisor die Abbildung ${\displaystyle P\mapsto a_{P}}$ ein Divisor im Sinne der Funktionentheorie. Allerdings gibt es Divisoren im Sinne der Funktionentheorie, die nicht auf diese Weise entstehen, da dort ${\displaystyle a_{P}\neq 0}$ für unendlich viele ${\displaystyle P}$ (die allerdings keinen Häufungspunkt haben dürfen) zugelassen ist.

Allgemeine Definition

Weil-Divisor

Sei ${\displaystyle X}$ ein noethersches integres separiertes Schema, regulär in Kodimension 1. Ein Primdivisor ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle X}$ ist ein abgeschlossenes ganzes Unter-Schema der Kodimension Eins. Ein Weil-Divisor (nach André Weil) ist dann ein Element der frei erzeugten abelschen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Div} \,X}$ der Primdivisoren und wird meistens als formale Summe ${\displaystyle \textstyle D=\sum _{j}a_{j}\cdot Y_{j},\;a_{j}\in \mathbb {Z} ,}$ geschrieben, wobei nur endlich viele ${\displaystyle a_{j}}$ von Null verschieden sind.

• Ein Weil-Divisor heißt effektiv (oder positiv), wenn ${\displaystyle a_{j}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle j}$ gilt.

• Ein Weil-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er gleich dem Divisor einer von Null verschiedenen rationalen Funktion ist: Sei ${\displaystyle f}$ eine rationale Funktion auf ${\displaystyle X}$, von Null verschieden. Für jeden Primdivisor ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle X}$ bezeichne ${\displaystyle v(f,Y)}$ die Bewertung von ${\displaystyle f}$ im diskreten Bewertungsring, der zu einem generischen Punkt von ${\displaystyle Y}$ gehört. Die Bewertung ist von der Wahl des generischen Punktes unabhängig. Im eindimensionalen Fall entspricht die Bewertung dem Grad der Null- bzw. Polstelle von ${\displaystyle f}$ in diesem Punkt. ${\displaystyle \textstyle (f):=\sum _{Y}v(f,Y)\cdot Y}$ heißt dann Divisor von ${\displaystyle f}$ und definiert tatsächlich einen Weil-Divisor, die Summanden sind nur für endlich viele Primdivisoren von Null verschieden.

• Zwei Weil-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Der Quotient von ${\displaystyle \mathrm {Div} \,X}$ bezüglich dieser Äquivalenz ist die Divisorenklassengruppe und wird mit ${\displaystyle \mathrm {Cl} \,X}$ bezeichnet.

Cartier-Divisor

Sei ${\displaystyle X}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit bzw. eine algebraische Varietät und ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ bezeichne die Garbe der holomorphen bzw. algebraischen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ bezeichne die Garbe der meromorphen bzw. rationalen Funktionen auf ${\displaystyle X}$. Die Quotienten-Garbe ${\displaystyle {\mathcal {D}}:={\mathcal {M}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}}$ heißt Garbe der Divisoren, und ein Schnitt in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ heißt Cartier-Divisor (nach Pierre Cartier), meist nur als Divisor bezeichnet. Die Menge aller Schnitte ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {M}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})}$ bildet eine Abelsche Gruppe.

• Ein Cartier-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er im Bild der natürlichen Abbildung ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {M}}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {M}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})}$ liegt, also der Divisor einer nicht-verschwindenden meromorphen Funktion ist.

• Zwei Cartier-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihr Quotient ein Hauptdivisor ist. Der Quotient bezüglich dieser Äquivalenz wird mit ${\displaystyle \mathrm {CaCl} \,X}$ bezeichnet.

Beziehung zwischen Cartier- und Weil-Divisoren

Sei ${\displaystyle X}$ ein noethersches integres separiertes Schema, dessen lokale Ringe alle faktoriell sind. Dann ist die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Div} \,X}$ der Weil-Divisoren auf ${\displaystyle X}$ isomorph zur Gruppe der Cartier-Divisoren ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {M}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})}$. Dieser Isomorphismus erhält die Eigenschaft, Hauptdivisor zu sein und führt die Quotientengruppen ${\displaystyle \mathrm {Cl} \,X}$ und ${\displaystyle \mathrm {CaCl} \,X}$ ineinander über.

Literatur

• Joseph L. Taylor: Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups. American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X
• William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag 1977. ISBN 0-387-90244-9
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3