Darstellungsring

Der Darstellungsring e​iner Gruppe i​st in d​er Mathematik v​or allem i​n der Darstellungstheorie, a​ber auch i​n Algebra, Topologie u​nd K-Theorie v​on Bedeutung.

Definition

Der Darstellungsring einer Gruppe ${\displaystyle G}$ wird definiert als die abelsche Gruppe der formalen Differenzen von Darstellungen, mit direkter Summe und Tensorprodukt als Addition und Multiplikation.

Für endliche o​der kompakte Gruppen k​ann man d​en Darstellungsring äquivalent definieren a​ls die abelsche Gruppe

${\displaystyle R(G)=\{\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}|a_{j}\in \mathbb {Z} ,\tau _{j},j=1,\dotsc ,m\,\,{\text{ alle}}{\text{ irreduziblen}}{\text{ Darstellungen}}{\text{ von }}G{\text{ über }}\mathbb {C} \,\,{\text{ bis}}{\text{ auf}}{\text{ Isomorphie}}\},}$

die mit komponentenweiser Addition sowie der durch die Zerlegung des Tensorprodukts als direkte Summe irreduzibler Darstellungen als Multiplikation zum Ring wird. Die Elemente von ${\displaystyle R(G)}$ heißen virtuelle Darstellungen.

Operationen

Direkte Summe

Seien ${\displaystyle (\rho _{1},V_{\rho _{1}})}$ und ${\displaystyle (\rho _{2},V_{\rho _{2}})}$ zwei Darstellungen einer Gruppe ${\displaystyle G}$. Die direkte Summe von Darstellungen definiert eine Addition

${\displaystyle \left[\rho _{1}\right]+\left[\rho _{2}\right]:=\left[\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right]}$

auf ${\displaystyle R(G)}$.

Tensorprodukt

Seien ${\displaystyle G_{1}}$ und ${\displaystyle G_{2}}$ zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen ${\displaystyle (\rho _{1},V_{\rho _{1}})}$ und ${\displaystyle (\rho _{2},V_{\rho _{2}}),}$ dann ist ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ eine Darstellung des direkten Produkts ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$, das Tensorprodukt der beiden Darstellungen. Das definiert einen Homomorphismus

${\displaystyle R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})\to R(G_{1}\times G_{2}),}$

wobei ${\displaystyle R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})}$ das Tensorprodukt der Darstellungsringe als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Moduln ist. Für ${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$ erhält man durch Verknüpfung mit dem durch die Diagonaleinbettung ${\displaystyle G\to G\times G}$ definierten Homomorphismus ${\displaystyle R(G\times G)\to R(G)}$ insbesondere eine Multiplikation

${\displaystyle R(G)\otimes _{\mathbb {Z} }R(G)\to R(G)}$.

Äußeres Produkt

Für jede Darstellung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ kann man das ${\displaystyle n}$-te äußere Produkt definieren, welches wiederum eine Darstellung von ${\displaystyle G}$ ist. Dies definiert eine Folge von Operationen

${\displaystyle \lambda ^{n}\colon R(G)\to R(G)}$,

die ${\displaystyle R(G)}$ zu einem λ-Ring machen.

Adams-Operationen

Die Adams-Operationen ${\displaystyle \Psi ^{k}\colon R(G)\to R(G)}$ auf dem Darstellungsring einer kompakten Gruppe werden durch ihre Wirkung auf Charakteren definiert:

${\displaystyle \Psi ^{k}(\chi (g))=\chi (g^{k})}$.

Sie definieren Ringhomomorphismen und ihre Wirkung auf ${\displaystyle d}$-dimensionalen Darstellungen lässt sich beschreiben durch

${\displaystyle \Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )}$

wobei ${\displaystyle \Lambda ^{i}\rho }$ die äußeren Potenzen von ${\displaystyle \rho }$ sind und ${\displaystyle N_{k}}$ die ${\displaystyle k}$-te Potenzsumme als Summe der elementarsymmetrischen Funktionen in ${\displaystyle d}$ Variablen ausdrückt.

Beispiele

• Für die zyklische Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle R(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \left[X\right]/(X^{n}-1)}$,

wobei ${\displaystyle X}$ einer 1-dimensionalen Darstellung entspricht, die den Erzeuger von ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ auf eine ${\displaystyle n}$-te primitive Einheitswurzel abbildet.

• Für die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist

${\displaystyle R(S_{3})=\mathbb {Z} \left[X,Y\right]/(XY-Y,X^{2}-1,Y^{2}-X-Y-1)}$,

wobei ${\displaystyle X}$ der 1-dimensionalen alternierenden Darstellung und ${\displaystyle Y}$ der 2-dimensionalen irreduziblen Darstellung von ${\displaystyle S_{3}}$ entspricht.

• Für die Kreisgruppe ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ist

${\displaystyle R(S^{1})=\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]}$.

• Für die spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle SU(n)}$ ist

${\displaystyle R(SU(n))=\mathbb {Z} \left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]/(X_{1}\ldots X_{n}-1)}$,

wobei ${\displaystyle X_{i}}$ der Darstellung entspricht, die eine Diagonalmatrix auf ihren ${\displaystyle i}$-ten Diagonaleintrag abbildet.

Darstellungsringe kompakter Gruppen

Im Folgenden sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte (z. B. endliche) Gruppe.

Charaktere und Darstellungsringe

Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf ${\displaystyle G}$ mit komplexen Werten

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi :R(G)&\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}&\mapsto \sum a_{j}\chi _{j},\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \chi _{j}}$ die zu ${\displaystyle \tau _{j}}$ gehörigen irreduziblen Charaktere sind.

Für kompakte Gruppen ${\displaystyle G}$ wird eine Darstellung durch ihren Charakter festgelegt, demzufolge ist ${\displaystyle \chi }$ injektiv. Die Bilder von ${\displaystyle \chi }$ heißen virtuelle Charaktere.
Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}}$ bilden, induziert ${\displaystyle \chi }$ einen Isomorphismus

${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} _{\text{class}}(G),}$

indem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren ${\displaystyle (\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\dotsc ,m}}$ definiert durch ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}}$ bzw. ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},}$ und dann bilinear fortsetzt.

Wir schreiben ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G)}$ für die Menge aller Charaktere auf ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ für die von ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G)}$ erzeugte Gruppe, d. h., für die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren. Es gilt

${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,{\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).}$

Damit gilt also ${\displaystyle R(G)\cong {\mathcal {R}}(G),}$ also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise.

Da ${\displaystyle {\text{Im}}(\chi )={\mathcal {R}}(G),}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ die Menge aller virtuellen Charaktere. Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert, ist ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ein Unterring des Rings ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ aller Klassenfunktionen auf ${\displaystyle G.}$ Da die ${\displaystyle \chi _{i}}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ bilden, erhalten wir, wie schon für ${\displaystyle R(G),}$ die Isomorphie ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).}$

Einschränkung und Induktion

Sei ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle G,}$ so definiert die Einschränkung einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}(G)&\to {\mathcal {R}}(H)\\\phi &\mapsto \phi |_{H},\end{aligned}}}$

den wir mit ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}^{G}}$ oder ${\displaystyle {\text{Res}}}$ bezeichnen. Ebenso definiert die Induktion auf Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),}$ der mit ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}}$ bzw. ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ bezeichnet wird.
Nach der Frobeniusreziprozität sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezüglich der bilinearen Formen ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}}$ und ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.}$ Weiterhin zeigt die Formel

${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi ,}$

dass das Bild von ${\displaystyle {\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$ ein Ideal des Ringes ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ist.
Analog kann man über die Einschränkung von Darstellungen die Abbildung ${\displaystyle {\text{Res}}}$ und über die Induktion die Abbildung ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ für ${\displaystyle R(G)}$ definieren. Mit der Frobeniusreziprozität erhält man dann, dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass das Bild ${\displaystyle {\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))}$ ein Ideal in ${\displaystyle R(G)}$ ist.

Falls ${\displaystyle A}$ ein kommutativer Ring ist, lassen sich die Homomorphismen ${\displaystyle {\text{Res}}}$ und ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ zu ${\displaystyle A}$-linearen Abbildungen fortsetzen:

${\displaystyle {\begin{aligned}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)&\to A\otimes R(H)\\(a\otimes \sum a_{i}\tau _{i})&\mapsto (a\otimes \sum a_{i}{\text{Res}}(\tau _{i}))\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)&\to A\otimes R(G)\\(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j})&\mapsto (a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \eta _{j}}$ die irreduziblen Darstellungen von ${\displaystyle H}$ bis auf Isomorphie sind.

Mit ${\displaystyle A=\mathbb {C} }$ erhalten wir insbesondere, dass ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ und ${\displaystyle {\text{Res}}}$ Homomorphismen zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(H)}$ liefern.

Maximale Tori

Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ hat man einen durch Einschränkung definierten Isomorphismus

${\displaystyle R(G)\simeq R(T)^{W}}$,

wobei ${\displaystyle T\subset G}$ ein maximaler Torus und ${\displaystyle W}$ die auf ${\displaystyle T}$ wirkende Weyl-Gruppe ist.

Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen

Alle irreduziblen Darstellungen von ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ sind genau die Darstellungen ${\displaystyle \eta _{1}\otimes \eta _{2}}$, für die ${\displaystyle \eta _{1},\eta _{2}}$ irreduzible Darstellungen von ${\displaystyle G_{1}}$ bzw. ${\displaystyle G_{2}}$ sind. Dies überträgt sich auf den Darstellungsring als Identität

${\displaystyle R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}).}$

Satz von Artin

→ Hauptartikel: „Satz von Artin“ im Artikel Induzierte Darstellung

Sei ${\displaystyle X}$ eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G.}$ Sei ${\displaystyle {\text{Ind}}\colon \bigoplus _{H\in X}R(H)\to R(G)}$ der Homomorphismus, definiert durch die Familie der ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G},\,\,H\in X.}$ Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• Der Kokern von ${\displaystyle {\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}R(H)\to R(G)}$ ist endlich.
• ${\displaystyle G}$ ist die Vereinigung der Konjugate der zu ${\displaystyle X}$ gehörenden Untergruppen, also ${\displaystyle G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.}$

Beziehung zur K-Theorie

Der Darstellungsring i​st isomorph z​ur algebraischen K-Theorie d​er Gruppenalgebra:

${\displaystyle R(G)\simeq K_{0}(\mathbb {C} G)}$.

Der Darstellungsring e​iner kompakten Lie-Gruppe i​st isomorph z​ur äquivarianten K-Theorie d​es Punktes:

${\displaystyle R(G)\simeq K_{G}(*)}$.

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.
• Graeme Segal: The representation ring of a compact Lie group, Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques January 1968, Volume 34, Issue 1, pp 113–128

Weblinks

• Representation Ring (nLab)

Einzelnachweise