Borel-Summierung

Die Borel-Summierung i​st in d​er asymptotischen Analysis e​ine Summierungsmethode für e​ine divergente Folge o​der Reihe, d​ie dazu dient, dieser d​och noch e​inen in gewisser Weise optimalen Wert zuzuordnen u​nd sie z​u „regularisieren“. Es g​ibt verschiedene leicht unterschiedliche Varianten u​nd Verallgemeinerungen.

Sie i​st nach Émile Borel benannt, d​er sie 1895 einführte.[1][2][3]

Die Methode d​er Borel-Summierung findet z​um Beispiel i​n der theoretischen Physik Anwendung, u​m damit divergenten quantenmechanischen Störungsreihen d​och noch e​inen aussagekräftigen Wert zuzuordnen.

Definition

Es g​ibt mehrere, leicht abweichende Varianten. Ist e​ine Methode b​ei einer divergenten Folge n​icht anwendbar, k​ann eventuell e​ine Variante z​um Ziel führen. Auf dieselben Folgen angewandt i​m selben Definitionsbereich d​er Variablen ergeben s​ie denselben Wert.

Die z​u summierende Reihe sei

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,z^{k}.}$

Häufig w​ird dabei d​er Definitionsbereich d​er Variablen i​m Komplexen gewählt. Dann i​st eine schwache Form d​er Borelsumme (Borel Methode B)[4][5] über d​ie Partialsumme d​er Reihe

${\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$

so definiert:

${\displaystyle a(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)}$

Existiert der Grenzwert ${\displaystyle a(z)}$, sagt man, dass die ursprüngliche Reihe A(z) schwach Borel-summierbar ist mit schwacher Borel-Summe ${\displaystyle a(z)}$ an der Stelle ${\displaystyle z}$.

Den d​er Reihe zugeordneten Ausdruck

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}$

nennt man die Borel-Transformation der Reihe ${\displaystyle A(t)}$. Er entspricht dem Einfügen der Koeffizienten der ursprünglichen Potenzreihe in die Reihe für die Exponentialfunktion.

Eine „stärkere“ Form d​er Borel-Summierung besteht i​m Übergang v​on der Summe z​um Integral (B'-Methode o​der Borels Integral-Summierungsmethode):[5][6][7] Falls d​er Grenzwert

${\displaystyle a(z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}\,z^{k}\,dt}$

existiert und das Integral als uneigentliches Integral wohldefiniert ist, sagt man, dass die ursprüngliche Reihe ${\displaystyle A(z)}$ an der Stelle ${\displaystyle z}$ nach der Methode B' Borel-summierbar ist mit der Borel-Summe ${\displaystyle a(z)}$.

Könnte man Summierung und Integration vertauschen, erhielte man formal wegen ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{n}\,e^{-t}\,dt=n\,!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}\,z^{k}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z).}$

Die spezielle Laplace-Transformation ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt}$ heißt deshalb manchmal auch inverse Borel-Transformation.[8]

Falls das Integral nicht überall konvergiert, sondern nur in einer Umgebung von ${\displaystyle t=0}$, kann es eventuell analytisch entlang der positiven reellen Achse fortgesetzt werden.

Grundlegende Eigenschaften

Beide Summierungsmethoden s​ind regulär (Godfrey Harold Hardy 1904),[9] d​as heißt w​enn die Reihe konvergiert, d​ann konvergieren a​uch die schwache u​nd die Integral-Borel-Summierung, u​nd zwar a​uf den gleichen Wert.

Jede schwach Borel-summierbare Reihe (Methode B) i​st auch n​ach der Methode B' summierbar (Hardy) a​ber nicht umgekehrt, w​ie ein Satz v​on Hardy beweist.

Ist die Reihe ${\displaystyle A(z)}$ B'-summierbar an der Stelle ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}$, dann ist sie schwach Borel-summierbar.

Anders ausgedrückt: die beiden Methoden B und B' sind äquivalent genau dann, wenn die Zusatzbedingung ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}$ erfüllt ist.[10]

Satz von Watson

Die Borel-Summe g​ibt in vielen Fällen d​ie beste Näherung a​n eine divergente Reihe i​n einem bestimmten Variablenbereich i​n dem Sinn, d​ass die Fehler e​iner Näherung a​uf endlicher Stufe d​urch die Borel-Summierung s​o klein w​ie möglich sind. Hierzu g​ibt es d​en Satz v​on Watson[11], d​er hier i​n der Form d​es Lehrbuchs v​on Reed/Simon dargestellt wird.[8][12]

${\displaystyle f(z)}$ sei holomorph in einem Gebiet ${\displaystyle G}$, das durch (${\displaystyle z=r\,e^{i\,\varphi }}$)

• ${\displaystyle 0<r<R}$ und
• ${\displaystyle \varphi <{\frac {\pi }{2}}+\epsilon }$

gegeben ist für positives ${\displaystyle \epsilon }$.

Weiter sei ${\displaystyle f}$ in diesem Gebiet durch die asymptotische Reihe ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}\,z^{k}}$ dargestellt, so dass der Näherungsfehler bei jeder Partialsumme

${\displaystyle |f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n}z^{n}|}$

nach o​ben durch

${\displaystyle C\,\gamma ^{n+1}\,(n+1)\,!\,r^{n+1}}$

beschränkt ist für alle ${\displaystyle z\in G}$ und für alle ${\displaystyle n}$ mit positiven Konstanten ${\displaystyle C>0}$, ${\displaystyle \gamma >0}$. Dann ist nach dem Satz von Watson ${\displaystyle f(z)}$ im Gebiet ${\displaystyle G}$ die Borel-Summierung ihrer asymptotischen Reihe ${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}\,z^{k}}$- Dabei ist die Borel-Summierung hier im Sinn einer analytischen Fortsetzung der Methode B' zu verstehen wie oben in der Definition dargestellt.

Der Satz bildet die Grundlage für viele Anwendungen der Borel-Summierung in der mathematischen Physik. Reed/Simon definieren, dass bei Erfüllung der oben angegebenen Voraussetzungen ${\displaystyle f(z)}$ eine starke asymptotische Bedingung erfüllt (strong asymptotic condition) und durch ihre starke asymptotische Reihe ${\displaystyle s(z)}$ dargestellt ist. Sie zeigten, dass analytische Funktionen eindeutig durch ihre starken asymptotischen Reihen bestimmt werden.

Wichtig für Anwendungen ist die Möglichkeit mit Hilfe der Borel-Summierung eine analytische Funktion analytisch längs der reellen Achse fortzusetzen. Reed/Simon zeigten, dass falls die obigen Voraussetzungen erfüllt sind, ${\displaystyle s(z)}$ in einer Scheibe um den Nullpunkt analytisch ist und eine analytische Fortsetzung in den Sektor ${\displaystyle \varphi <\epsilon }$ besitzt:

Falls ${\displaystyle r<R}$ und ${\displaystyle \varphi <\epsilon }$ gilt:[13]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}|s(tz)|dt<\infty }$

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}|s(tz)|dt}$

Der Winkel ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ in der Definition des Gebiets ist in gewisser Weise bestmöglich, da nach Borel und Carleman für kleinere Winkel die Eindeutigkeit der Darstellung durch eine asymptotische Reihe verlorengeht.[14]

Der Satz von Watson ist in Hinblick auf den Grenzfall ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ (rechte Halbebene) 1980 von Alan Sokal für Anwendungen in der Quantenfeldtheorie verbessert worden.[15][16] unter Anwendung von Ergebnissen von Rolf Nevanlinna (1919).[17]

Beispiele

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},}$

konvergiert im üblichen Sinn für ${\displaystyle |z|<1}$ gegen ${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$.

Ihre Borel-Transformation ist:

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}=e^{zt}}$

und d​ie Borel-Summe n​ach Methode B'

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}$

Sie konvergiert für ${\displaystyle Re(z)<1}$ und liefert so eine analytische Fortsetzung der ursprünglichen divergenten Reihe.

Betrachtet man stattdessen die schwache Borel-Summierung (Methode B) ergibt sich mit den Partialsummen ${\displaystyle A_{N}(z)={\frac {1-z^{N-1}}{1-z}}}$ für die Summe:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},}$

die ebenfalls für ${\displaystyle Re(z)<1}$ konvergiert. Das folgt auch aus dem obigen Äquivalenzsatz von Hardy für B- und B'-Summierbarkeit (siehe den Abschnitt „Grundlegende Eigenschaften“) und aus dem Ergebnis für die B'-Summierbarkeit, denn

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.}$

Allgemein bildet der Konvergenzbereich für die schwache Borel-Summierung einer Potenzreihe zu einer in ${\displaystyle z=0}$ regulären Funktion einen sternförmigen Bereich (sog. Borel-Polygon).[18]

Alternierende faktorielle Reihe

Die alternierende Reihe m​it der Faktoriellen a​ls Koeffizienten i​st gegeben durch:[19]

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1\cdot z)^{k},}$

Sie konvergiert für keinen Wert ungleich Null.

Die Borel-Transformation ist:

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}$

und d​ie Borel-Summe n​ach Methode B' ist:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}$

mit der unvollständigen Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$. Damit lässt sich die ursprüngliche divergente Reihe längs der gesamten positiven reellen Achse analytisch fortsetzen.

Wegen

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1+zt}}=0,}$

kann w​ie im Fall d​er geometrischen Reihe a​uch hier a​us dem Satz v​on Hardy geschlossen werden, d​ass dies a​uch für d​ie schwache Borel-Summierung gilt.

Beispiel für Nicht-Äquivalenz der beiden Summierungsmethoden

Hardy bringt folgendes Beispiel dafür, dass die beiden Summierungsmethoden B und B' unterschiedliche Ergebnisse liefern.[20] Man betrachte die Reihe

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.}$

Die Borel-Transformation ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}}$

Bei ${\displaystyle z=2}$ ist die Borel-Summe nach Methode B':

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,}$

mit dem Fresnel-Integral ${\displaystyle S(x)}$.

Es lässt sich zeigen, dass die analytische Fortsetzung der Borel-Summe auf der positiven reellen Achse für ${\displaystyle z\leq 2}$ konvergiert und darüber divergiert.

Im Gegensatz d​azu ist b​ei der schwachen Borel-Summierung

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0}$

nur für ${\displaystyle z<1}$ erfüllt und damit der Konvergenzbereich kleiner als bei der Methode B'.

Sätze vom Tauber-Typ

Sätze vom Tauber-Typ machen Aussagen darüber unter welchen Umständen die Konvergenz einer Methode die einer anderen Methode bedingt. Das wichtigste Resultat stammt von Hardy:[21][22]

Eine schwach Borel-summierbare Reihe ist im üblichen Sinn konvergent, wenn die Elemente der Potenzreihe ${\displaystyle a_{k}\,z_{0}^{k}}$ (an der Stelle ${\displaystyle z_{0}}$) von der Ordnung ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k}}}}$ sind (in Landau-Notation: ${\displaystyle a_{k}\,z_{0}^{k}=0({\frac {1}{\sqrt {k}}})}$).

Verallgemeinerung, Mittag-Leffler-Summierung

Die Borel-Summierung i​st nur anwendbar, w​enn die Koeffizienten d​er Reihe n​icht zu schnell wachsen. Es g​ibt aber Verallgemeinerungen, d​ie in Fällen anwendbar sind, i​n denen d​ie Borel-Summierung versagt.

Die Mittag-Leffer-Summierung wurde 1906 von Gösta Mittag-Leffler[23] eingeführt und ist eine Verallgemeinerung der Borel-Summierung, die von Mittag-Leffler speziell für die divergente Reihe ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}$ eingeführt wurde.[24][25]

Sie i​st für d​ie Reihe

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,z^{k}}$

mit Hilfe der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (z)}$ definiert über die Transformation:

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{\Gamma (1+\delta k)}}\,z^{k}}$

Die Methode i​st ebenfalls regulär u​nd wird w​ie die Borel-Summierung b​ei der analytischen Fortsetzung v​on Funktionen angewendet.

Anwendungen

In der Quantenfeldtheorie können mit Hilfe der Borel-Summierung die Schwinger-Funktionen – das sind die Vakuumerwartungswerte des Produkts der Felder an n verschiedenen Punkten – aus der Störungsreihe gewonnen werden, zum Beispiel in der euklidischen Formulierung der ${\displaystyle {\phi }^{4}}$-Theorie in zwei Dimensionen.[26][27] im Rahmen der mathematisch strengen Behandlung der Quantenfeldtheorie (siehe Axiomatische Quantenfeldtheorie). Sie findet aber auch zum Beispiel bei der Summierung der Störungsreihe der Quantenchromodynamik Anwendung. Die Beiträge der N-ten Ordnung der Störungsreihe wird typischerweise durch eine Anzahl ${\displaystyle 0(N\,!)}$ von Feynmandiagrammen bestimmt und ist entsprechend von gleicher Ordnung ${\displaystyle 0(N!)}$ in ${\displaystyle N}$. Die Singularitäten der Borel-Transformation in der komplexen Ebene entsprechen teilweise Instantonen und Renormalonen.

Eine weitere Anwendung i​st das Feigenbaum-Szenario i​n der Chaostheorie,[28] d​er Berechnung kritischer Exponenten v​on Phasenübergängen[29] o​der der anharmonische Oszillator.[30]

In d​en Anwendungen w​ird manchmal n​och die Padé-Approximation a​uf die Borel-Summierung angewandt (Borel-Padé-Methode).

Literatur

• Godfrey Harold Hardy: Divergent Series, Oxford University Press, 2. Auflage 1949 (das klassische Standardwerk)
• Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994
• K. Zeller, W. Beekmann: Theorie der Limitierungsverfahren, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer Verlag, 2. Auflage 1970[31]

Weblinks

• Borel summation method, Springer Encyclopedia of Mathematics
• Borel regularized sum, Mathworld

Einzelnachweise

1. Borel, Sur la sommation des séries divergents, Comptes Rendus Acad. Sci., Serie 1 (Math.), Band 126, 1895, S. 1125–1127
2. Borel, Mémoire sur les séries divergentes, Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), Band 16, 1899, S. 9–131, 132–136, numdam
3. Borel, Lecons sur les Séries Divergentes, Paris, Gauthier-Villars, 1901, 2. Auflage 1928, englische Übersetzung Lectures on divergent series, Los Alamos Scientific Laboratories 1975
4. Artikel Borel summation method in Encyclopedia of Mathematics, Springer, siehe Weblinks
5. Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, Kapitel 3 (Basic Definitions)
6. Zeller (1958, siehe Literatur) bezeichnet B', also das Integralverfahren, als ${\displaystyle B_{0}^{*}}$ und B als ${\displaystyle B_{0}}$.
7. Hardy (1949, S. 182) bezeichnet die schwache Methode mit B und die Integral-Methode mit B' wie hier oder alternativ B als Borel's exponentielle Methode und B' als Borel's Integral-Methode.
8. Reed, Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Band 4 (Analysis of Operators), Academic Press 1978, S. 44
9. Hardy, Divergent Series, 1949, S. 182
10. Hardy, Divergent Series, 1949, S. 183
11. G. N. Watson, A theory of asymptotic series, Phil. Trans. Roya. Soc. A, Band 211, 1912, S. 279–313
12. Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, S. 204
13. Bruce Shawyer, Bruce Watson: Borel's methods of Summability, Clarendon Press 1994, S. 205
14. Hardy, Divergent Series, 1949, S. 191
15. Sokal, An improvement of Watson's theorem on Borel summability, J. Math. phys. Band 21, 1980, S. 261–263
16. D. W. H. Gillam, V. P. Gurarii, On functions uniquely determined by their asymptotic expansion, Functional Analysis and Its Applications, Band 40, Nr. 4, 2006, S. 273–284
17. Nevanlinna, Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A, Band XII, Nr. 3, 1919, S. 1–81
18. Zeller, Theorie der Limitierungsverfahren, Springer 1958, S. 136
19. Kurz bei Hardy (1949), S. 192, behandelt
20. Hardy, Divergent Series, 1949, S. 183
21. Zeller, Theorie der Limitierungsverfahren, 1. Auflage, Springer 1958, S. 138
22. Hardy, Divergent Series, 1949, S. 220. Dort als Principal Tauberian Theorem bezeichnet
23. Mittag-Leffler, Sur la reprèsentation analytique d'une branche uniform d'une fonction monogène, Acta Mathematica, Band 29, 1904, S. 101–181
24. Mittag-Leffler, Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe", Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Rom 1908), Band 1, S. 67–86,
25. Mittag-Leffler summation method, Encyclopedia of Mathematics, Springer
26. Glimm, Jaffe, Quantum Physics. A Functional Integral Point of View, Springer 1981, S. 364. Mit Verweis auf J.-P. Eckmann, J. Magnen, R. Seneor, Decay properties and Borel summability of the Schwinger functions in ${\displaystyle P(\phi )_{2}}$ theories, Comm. Math. Phys., Band 39, 1975, S. 251–271.
27. H. Kleinert, V. Schulte-Frohlinde, Critical properties of ${\displaystyle \phi ^{4}}$ theories, World Scientific 2000
28. J.-P. Eckmann, P. Wittwer, Computer methods and Borel-summability applied to Feigenbaum's equation, Lecture notes in physics 85, Springer 1985
29. J. Le Guillou, Zinn-Justin, Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory, Phys. Rev. Lett., Band 39, 1977, S. 39–98
30. S. Graffi, V. Grecchi, B. Simon, Borel summability: Application to the Anharmonic Oscillator, Phys. Lett. B, Band 32, 1970, S. 631&34
31. In der 1. Auflage nur von Zeller auf S. 134–140 (Zusammenfassung von Ergebnissen)