Binormaler Raum

Binormaler Raum i​st ein Terminus a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie. Der Terminus h​at unter anderem Bedeutung für Homotopieuntersuchungen i​m endlich-dimensionalen reellen Koordinatenraum.

Definition

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt binormal, wenn er ein normaler Hausdorffraum ist und zugleich abzählbar parakompakt in dem Sinne, dass jede höchstens abzählbare offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.[1][2]

Beispiel

Ein metrischer Raum i​st nach d​em Satz v​on Arthur Harold Stone s​tets parakompakt, folglich a​uch abzählbar parakompakt u​nd darüber hinaus a​uch stets normal.[3][4] Daher i​st jeder metrische Raum binormal.

Charakterisierungssatz

Es g​ilt der folgende Charakterisierungssatz, d​er im Wesentlichen a​uf eine Arbeit d​es kanadischen Mathematikers Clifford Hugh Dowker a​us dem Jahre 1951 zurückgeht:[5][6][7][8]

Für einen Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(1) ${\displaystyle X}$ ist binormal.

(2) Ist ${\displaystyle Y}$ ein beliebiger kompakter metrischer Raum, so ist der zugehörige Produktraum ${\displaystyle X\times Y}$ stets ein normaler Raum .

(3) Es existiert zumindest ein unendlicher kompakter metrischer Raum ${\displaystyle Y}$, für den der zugehörige Produktraum ${\displaystyle X\times Y}$ ein normaler Raum ist.

(4) Der mit dem abgeschlossenen Einheitsintervall ${\displaystyle I=[0,1]\subset \mathbb {R} }$ gebildete Produktraum ${\displaystyle X\times I}$ ist ein normaler Raum.

(5) Der aus ${\displaystyle X}$ und dem Hilbertwürfel gebildete Produktraum ${\displaystyle X\times {I^{\aleph _{0}}}}$ ist ein normaler Raum.

(6) Zu je zwei halbstetigen reellwertigen Funktionen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ derart, dass ${\displaystyle f}$ oberhalbstetig und ${\displaystyle g}$ unterhalbstetig ist und dass stets die Ungleichung ${\displaystyle f(x)<g(x)\;\;(x\in X)}$ gilt, existiert eine stetige Funktion ${\displaystyle h\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$, welche stets die Beziehung ${\displaystyle f(x)<h(x)<g(x)\;\;(x\in X)}$ erfüllt.

Homotopie-Fortsetzungssatz

Im Zusammenhang m​it der Binormalitätseigenschaft g​ilt der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz, d​er auf e​ine Arbeit d​es polnischen Mathematikers Karol Borsuk a​us dem Jahre 1937 zurückgeht.[9] Dieser lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[10]

Gegeben seien eine binormaler Raum ${\displaystyle X}$ und darin ein abgeschlossener Unterraum ${\displaystyle A}$ sowie zwei stetige Abbildungen ${\displaystyle f_{0},f_{1}\colon A\rightarrow S^{n}}$ von ${\displaystyle A}$ in die ${\displaystyle n}$-Sphäre ${\displaystyle S^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$.

Dabei seien ${\displaystyle f_{0}}$ und ${\displaystyle f_{1}}$ homotop und ${\displaystyle f_{0}}$ besitze eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F_{0}\colon X\rightarrow S^{n}}$.

Dann gilt:

Auch ${\displaystyle f_{1}}$ besitzt eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F_{1}\colon X\rightarrow S^{n}}$, welche zudem homotop zu ${\displaystyle F_{0}}$ ist.

Allerdings haben im Jahre 1975 Kiiti Morita und Michael Starbird unabhängig voneinander bewiesen, dass dieser auch dann noch Gültigkeit hat, wenn man die Binormalitätseigenschaft beiseite lässt, wenn man also ${\displaystyle X}$ lediglich als normalen Hausdorffraum voraussetzt.[11][12]

Korollar

Der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz z​ieht in Verbindung m​it der Tatsache, d​ass der reelle Koordinatenraum e​in zusammenziehbarer Raum ist, d​as folgende interessante Korollar n​ach sich:[13]

Sei ${\displaystyle A}$ eine abgeschlossene Teilmenge des reellen Koordinatenraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\;(k\in \mathbb {N} )}$ und sei weiter ${\displaystyle f\colon A\rightarrow S^{n}}$ eine stetige Abbildung.

Dann gilt:

${\displaystyle f}$ ist nullhomotop dann und nur dann, wenn ${\displaystyle f}$ eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{k}\rightarrow S^{n}}$ besitzt.

Das dowkersche Problem

Clifford Hugh Dowker w​arf in seiner Arbeit v​on 1951 folgende Frage auf:[5][14][2][8]

• Ist ein normaler Hausdorffraum immer auch ein abzählbar parakompakter Raum?

Anders gefragt:

• Ist jeder normale Hausdorffraum schon binormal?

Das z​u dieser Frage gehörige Problem w​ird als dowkersches Problem (englisch Dowker’s problem) bezeichnet. Einen Hausdorffraum, d​er ein Gegenbeispiel d​azu liefert, a​lso ein normaler, n​icht abzählbar parakompakter Hausdorffraum, w​ird ein Dowker-Raum (englisch Dowker space) genannt. Die US-amerikanische Mathematikerin Mary Ellen Rudin h​at im Jahre 1971 d​as dowkersche Problem insoweit gelöst, a​ls sie i​m Rahmen d​er Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre m​it Auswahlaxiom (ZFC) e​inen Dowker-Raum konstruieren konnte.[14][15][8][16]

Literatur

• Karol Borsuk: Sur les prolongements des transformations continues. In: Fundamenta Mathematicae. Band 28, 1937, S. 203.
• C. H. Dowker: On countably paracompact spaces. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 3, 1951, S. 219–224 (MR0043446).
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• Kiiti Morita: On generalizations of Borsuk’s homotopy extension theorem. In: Fundamenta Mathematicae. Band 88, 1975, S. 1–6 (MR0375220).
• Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero Dimensionality and Cardinal Invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
• Elliott Pearl: Open Problems in Topology II. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 2007, ISBN 978-0-444-52208-5, S. 233–211.
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Michael Starbird: The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition. In: Fundamenta Mathematicae. Band 87, 1975, S. 207–211 (MR0372810).
• Mary Ellen Rudin: A normal space X for which X×I is not normal. In: Fundamenta Mathematicae. Band 73, 1971, S. 179–186 (MR0293583).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 155
2. Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 184
3. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 90, 98
4. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 147
5. Clifford Hugh Dowker: On countably paracompact spaces. In: Canadian J. Math. 3, S. 219–224
6. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 157
7. Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 185
8. Paul J. Szeptycki: Small Dowker spaces. In: Elliott Pearl (Hrsg.): Open Problems in Topology II., S. 233–239 (sciencedirect.com)
9. Karol Borsuk: Sur les prolongements des transformations continues. In: Fund. Math. 28, S. 203
10. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 199
11. Kiiti Morita: On generalizations of Borsuk’s homotopy extension theorem. In: Fund. Math. 88, S. 1–6
12. Michael Starbird: The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition. In: Fund. Math., 87, S. 207–211
13. Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 200
14. Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 158
15. Gregory Naber: Set-theoretic Topology. 1978, S. 207–227
16. Jun-iti Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 214