Multinomialtheorem

In d​er Mathematik stellt d​as Multinomialtheorem (auch Multinomialformel o​der Multinomialsatz) o​der Polynomialtheorem e​ine Verallgemeinerung d​er binomischen Formel a​uf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, i​ndem es d​ie Binomialkoeffizienten a​ls Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$ und ${\displaystyle k:=\!\,k_{1}+\ldots +k_{n}}$ definiert als

${\displaystyle {k \choose k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}}:={\frac {k!}{k_{1}!\cdot \,\ldots \,\cdot k_{n}!}}.}$

Der Multinomialsatz lautet dann

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.}$

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }.}$

Dabei identifiziert man ${\displaystyle x}$ mit dem Vektor ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Anwendung

Als Korollar a​us dem Multinomialtheorem gewinnt m​an beispielsweise für Multiindizes d​ie Abschätzung

${\displaystyle n^{k}=(1+\cdots +1)^{k}=\sum _{|\beta |=k}{\frac {|\beta |!}{\beta$ !}}\geq {\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}} für alle ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle |\alpha |=k}$,

also

${\displaystyle |\alpha |!\leq n^{|\alpha |}\cdot \alpha$ !} .

Beweisskizze

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über ${\displaystyle n}$ unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

Siehe auch

• Multinomialverteilung

Literatur

• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)
• Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Multinomial Coefficient. In: MathWorld (englisch).