Bessel-Punkt

Die Bessel-Punkte s​ind die beiden symmetrisch angeordneten Auflagerungspunkte e​ines Längsträgers, b​ei denen dieser d​ie geringstmögliche schwerkraftbedingte Verformung erfährt. Die optimalen Bedingungen für d​iese minimale Verformung können n​ach unterschiedlichen Kriterien definiert werden. Erstmals berechnet wurden derartige Punkte v​on Friedrich Wilhelm Bessel i​m Zusammenhang m​it Normierungen v​on Längenmaßen b​ei der Definition d​es preußischen Maßsystems.

Verbiegung (stark überhöht) eines gleichmäßig belasteten Balkens für verschiedene Paare von Auflagepunkten; blau: Bessel-Punkte

Biegelinie

Die Berechnungsgrundlage für die Auflagerpositionen liefert die Balkentheorie 1. Ordnung (schubstarrer Balken gemäß der Bernoullischen Annahmen). Hieraus leitet sich eine Funktion für die Durchbiegung ${\displaystyle w(x)}$ des Balkens in Abhängigkeit der Längenkoordinate ${\displaystyle x}$ ab – die Biegelinie. Für den relevanten Fall eines gleichmäßig belasteten, symmetrischen Balkens auf zwei Auflagern (mit Abstand a vom jeweiligen Trägerende) ergeben sich 3 Bereiche, welche jeweils mit einer Polynomfunktion vierten Grades beschrieben werden können. In der Klappbox ist die Herleitung der Abschnitte I (0 ≤ x ≤ a) und II (a ≤ x ≤ L – a) dargestellt.

Herleitung der Biegelinie in den Abschnitten I und II
${\displaystyle w''}$…Krümmung, ${\displaystyle w'}$…Steigung, ${\displaystyle w}$…Durchbiegung, ${\displaystyle x}$…Längenkoordinate des Balkens, ${\displaystyle a}$…Abstand der Auflager zum jeweils nähesten Balkenende, ${\displaystyle L}$…Balkenlänge, ${\displaystyle M_{b}}$…Biegemoment, ${\displaystyle q_{ges}}$…Streckenlast, ${\displaystyle E}$…Elastizitätsmodul, ${\displaystyle I_{y}}$…axiales Flächenträgheitsmoment
Abschnitt I   (0 ≤ x ≤ a)	Abschnitt II   (a ≤ x ≤ L – a)
${\displaystyle M_{b}(0\leq x\leq a)=-{\frac {q_{ges}}{2}}x^{2}}$ ${\displaystyle w''_{\mathrm {I} }(x)=-{\frac {1}{EI_{y}}}M_{b}(x)={\frac {1}{EI_{y}}}{\frac {q_{ges}}{2}}x^{2}}$ ${\displaystyle w'_{\mathrm {I} }(x)={\frac {1}{EI_{y}}}\left({\frac {q_{ges}}{6}}x^{3}+C_{1}\right)\,}$ ${\displaystyle w_{\mathrm {I} }(x)={\frac {1}{EI_{y}}}\left({\frac {q_{ges}}{24}}x^{4}+C_{1}x+C_{2}\right)\,}$	${\displaystyle M_{b}(a\leq x\leq L-a)=-{\frac {q_{ges}}{2}}x^{2}+{\frac {q_{ges}L}{2}}(x-a)}$ ${\displaystyle w''_{\mathrm {II} }(x)={\frac {1}{EI_{y}}}\left({\frac {q_{ges}}{2}}x^{2}-{\frac {q_{ges}L}{2}}(x-a)\right)\,}$ ${\displaystyle w'_{\mathrm {II} }(x)={\frac {1}{EI_{y}}}\left({\frac {q_{ges}}{2}}\left({\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}Lx^{2}+Lax\right)+C_{3}\right)\,}$ ${\displaystyle w_{\mathrm {II} }(x)={\frac {1}{EI_{y}}}\left({\frac {q_{ges}}{4}}\left({\frac {1}{6}}x^{4}-{\frac {1}{3}}Lx^{3}+Lax^{3}\right)\!+C_{3}x+C_{4}\right)}$
Symmetrie-, Lager- und Übergangsbedingungen: SB-1: ${\displaystyle w'_{\mathrm {II} }(L/2)=0\Rightarrow C_{3}=-{\frac {q_{ges}}{24}}L^{2}(6a-L)}$ LB-1: ${\displaystyle w_{\mathrm {II} }(a)=0\Rightarrow C_{4}={\frac {q_{ges}}{24}}a(-a^{3}-4a^{2}L+6aL^{2}-L^{3})}$ ÜB-1: ${\displaystyle w'_{\mathrm {I} }(a)=w'_{\mathrm {II} }(a)\Rightarrow C_{1}={\frac {q_{ges}}{24}}L(6a^{2}-6aL+L^{2})}$ LB-2: ${\displaystyle w_{\mathrm {I} }(a)=0\Rightarrow C_{2}=-{\frac {q_{ges}}{24}}a(a^{3}+6a^{2}L-6aL^{2}+L^{3})}$ Biegelinie ${\displaystyle w(x)}$: ${\displaystyle w_{\mathrm {I} }(0\leq x\leq a)={\frac {q_{ges}}{24EI_{y}}}(x^{4}+(6a^{2}L-6aL^{2}+L^{3})x-a^{4}-6a^{3}L+6a^{2}L^{2}-aL^{3})}$, ${\displaystyle w_{\mathrm {II} }(a\leq x\leq L-a)={\frac {q_{ges}}{24EI_{y}}}(x^{4}-2Lx^{3}+6aLx^{2}-(6aL^{2}-L^{3})x-a^{4}-4a^{3}L+6a^{2}L^{2}-aL^{3})}$.

Optimale Lagerungspunkte nach verschiedenen Definitionen

Lagerung eines Balkens auf Bessel-Punkten: geringste Balken-Verkürzung (gemessen an den Balkenenden in Höhe der neutralen Ebene)

Lagerung eines Balkens auf Airy-Punkten: parallele Balken-Endflächen

Beispiel für ein horizontales Strichmaß: Kopie Nr. 27 des Urmeters von 1889 für die USA

Wenn ein homogener und über seine gesamte Länge gleichmäßig belasteter, prismatischer Balken auf zwei Stützstellen lagert, unterliegt er einer schwerkraftbedingten Verformung, die auch eine Verkürzung seiner Länge mit sich bringt.[1] Für den einfachsten Fall der Lagerung auf zwei Stützstellen, die jeweils den gleichen Abstand ${\displaystyle a}$ von den Enden des Trägers mit der Gesamtlänge ${\displaystyle L}$ haben, wurden gemäß der Balkentheorie 1. Ordnung die Verhältniswerte ${\displaystyle a/L}$ für die jeweils optimalen Lagerpositionen nach verschiedenen Kriterien berechnet (siehe Tabelle).

Optimierungskriterium	Erläuterung
	${\displaystyle a/L-}$Wert (numerisch)	Bedingung für Biegelinie und ggfs. exakte Lösung
Minimale Längenverkürzung (Enden der neutralen Faser)
	Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte die Position der Auflager für die geringste Längenverkürzung des Trägers in seiner mittleren Fläche, der neutralen Ebene. Das Längenkriterium war für Bessel wichtig, weil er sich mit der Lagerung von Messstangen beschäftigte, die mit dem Normal des preußischen Längenmaßes verglichen werden sollten.[2] Wird zur Längenkalibrierung ein horizontales Strichmaß wie z. B. das Urmeter von 1889 (X-förmiger Querschnitt mit Strich-Markierungen auf der neutralen Ebene) verwendet, so kann mit dieser a/L-Konfiguration die größtmögliche Genauigkeit erzielt werden.
	${\displaystyle \approx 0{,}22031}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{L}(w')^{2}\,\mathrm {d} x\right)=0}$
Minimale Längenverkürzung (Enden der Randfaser)
	Im gleichen Zusammenhang bestimmte Bessel auch die Lageposition für die geringste Längenveränderung an der Oberfläche, an der die Skala der Messstange eingraviert ist. Für diesen Fall stehen die Endflächen des Trägers zueinander parallel, d. h. die Winkeländerung der Enden wird ebenfalls minimiert.[3] Endmaße wie die Urmeter von 1795 und 1799, deren Gesamtlänge als Abstand zwischen ihren Endflächen definiert ist, müssen mit diesem Lagerabstand unterstützt werden. Zu Ehren von George Biddell Airy, der sich ebenfalls mit der Problematik beschäftigte, werden diese Positionen in der Literatur als „Airy-Punkte“ bezeichnet.[4]
	${\displaystyle \approx 0{,}211325}$	${\displaystyle w'(0)=w'(L-a)=0\quad \Rightarrow \,a/L={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}}$
Minimaler Wert des Durchbiegungsmaximums
	Eine minimale Biegung über die gesamte Trägerlänge wird erreicht, wenn die Durchbiegungen in der Mitte und an den Enden des Balkens identisch sind.[1]
	${\displaystyle \approx 0{,}223149}$	${\displaystyle w(0)=w(L/2)=w(L)}$
Null-Biegung in der Balkenmitte
	Bei dieser Lagerung nimmt die Durchbiegung in der Balkenmitte den Wert 0 an.[1]
	${\displaystyle \approx 0{,}238613}$	${\displaystyle w(L/2)=0\quad \Rightarrow \,a/L={\sqrt {\tfrac {15}{2}}}-{\tfrac {5}{2}}}$
Null-Biegung am Balkenende
	Sollen die Balkenenden im Vergleich zum Niveau der Auflagerpunkte nicht durchgebogen sein, gilt diese Lagerung.
	${\displaystyle \approx 0{,}214175}$	${\displaystyle w(0)=w(L)=0}$
Minimale mittlere Durchbiegung
	Die minimale mittlere Durchbiegung über die gesamte Länge erhält man durch das Kriterium einer minimalen Formänderungsenergie.[5] Es ergeben sich horizontale Tangenten an den Auflagern (Betragsgleichheit der dort wirkenden Biegemomente).
	${\displaystyle \approx 0{,}224745}$	${\displaystyle w'(a)=w'(L-a)=0\quad \Rightarrow \,a/L={\sqrt {\tfrac {3}{2}}}-1}$
Minimales Biegespannungsmaximum
	Für die geringste maximale Biegespannung des Trägers mit der Streckenlast ${\displaystyle q_{ges}}$ ist das Biegemoment an den Stützstellen ${\displaystyle M_{b}(a)}$ und ${\displaystyle M_{b}(L-a)}$ betragsgleich dem Biegemoment ${\displaystyle M_{b}(L/2)}$ in der Trägermitte.
	${\displaystyle \approx 0{,}207107}$	${\displaystyle |M_{b}(a)|=|M_{b}(L-a)|=|M_{b}(L/2)|\quad \Rightarrow \,a/L={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{2}}}$
Null-Krümmung im Bereich der halben Balkenlänge
	Bei dieser Art der Lagerung bildet sich im Verlauf der Biegelinie des Trägers ein Bereich aus, in dem diese nicht bzw. kaum gekrümmt ist. Dies kann von Interesse sein, wenn in der Mitte des Trägers eine möglichst ebene Auflagefläche erwünscht ist.
	${\displaystyle =0{,}25}$	${\displaystyle w''(L/2)=0\quad \Rightarrow \,a/L={\tfrac {1}{4}}}$

Normen in der Längenmesstechnik

„In Normen d​er Längenmesstechnik werden Bessel-Punkte a​ls Auflagepunkte definiert, welche d​ie Längenänderung e​ines gebogenen Lineals i​n der Messebene minimieren.“

Lagerung von Messplatten

Geschliffene u​nd polierte Präzisions-Messplatten (aus Hartgestein w​ie Granit) finden Verwendung a​ls Basis für Kontroll-, Montage- u​nd Laborzwecke. Die Durchbiegung aufgrund i​hres hohen Eigengewichtes k​ann durch e​ine Besselsche 3-Punktlagerung minimiert werden. Es g​ilt dabei d​ie vereinfachte Konvention, d​ass sich 2 Auflagepunkte u​m jeweils 22 % d​er Länge s​owie 22 % d​er Breite v​on den Außenkanten entfernt befinden müssen. Diesen gegenüberliegend i​st der dritte Punkt i​m Abstand v​on 50 % d​er Breite u​nd 22 % d​er Länge v​on den jeweiligen Rändern anzuordnen.

Literatur

• Gert-Jan Nijsse: Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance. Delft University Press, Delft 2001, ISBN 90-407-2187-4 (repository.tudelft.nl).
• R. Reed: A glass reference surface for quality control measurements. International Journal of Mechanical Sciences 8 (1966), 703–715.

Weblinks

• Optimale Lagerung (Prof. Peter Will) (PDF; 605 kB)
• Optimale Lagerung (Björnstjerne Zindler) (PDF; 10 MB)

Einzelnachweise

1. Gert-Jan Nijsse: Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance. Delft 2001, S. 39f.
2. F. W. Bessel: Darstellung der Untersuchungen und Maaßregeln, welche, in 1835 bis 1838, durch die Einheit des Preußischen Längenmaaßes veranlaßt worden sind. Beilage I. Einfluss der Schwere auf die Figur eines, auf zwei Punkten von gleicher Höhe aufliegenden Stabes. Berlin 1839, S. 132 (dig).
3. F. W. Bessel, Berlin 1839, S. 135.
4. G. B. Airy: On the Flexure of a uniform Bar supported by a number of equal Pressures applied at equidistant points, and on the Positions proper for the Applications of these Pressures, in order to prevent any sensible Alteration of the Length of the Bar by small Flexure. In: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society Vol. VI, No.12, 10. Januar 1845, S. 143–146 (dig).
5. P. Will: Optimale Lagerung von Balken.