Bernoullische Annahmen

Die Bernoullischen Annahmen s​ind Vereinfachungen d​er physikalischen Balkentheorie, d​ie sich a​ls Teilgebiet d​er Technischen Mechanik m​it dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Sie werden a​uch als Bernoulli-Hypothese[1] o​der Bernoullische Hypothese[2] o​der Normalenhypothese v​on Bernoulli[3] bezeichnet u​nd sind benannt n​ach Jakob I Bernoulli, v​on dem s​ie aufgestellt u​nd dann i​n die Theorie übertragen wurden.

Inhalt der Annahmen

Vorausgesetzt wird, d​ass der Balken schlank ist. Seine Länge i​st wesentlich größer a​ls seine Querschnittsabmessungen.

Bernoulli geht von einem schubstarren Balken ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$ aus. Dabei steht ${\displaystyle G}$ für das Schubmodul, ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ für die Querschnittsfläche. Es tritt also ausschließlich Biegung auf und die Schubverformung hat keinen weiteren Einfluss.[4]

1. Bernoulli’sche Hypothese: Senkrechtbleiben d​er Querschnitte

Balkenquerschnitte, die vor der Verbiegung senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Verbiegung senkrecht auf der deformierten Balkenachse.[4] (Aus dem Winkelerhalt folgt, dass Schubstarrheit ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$ gefordert wird.)

2. Bernoulli’sche Hypothese: Ebenbleiben d​er Querschnitte

Die Querschnitte bleiben auch nach der Verbiegung in sich eben und verwölben sich nicht.[4] (Unter Berücksichtigung von Gleichgewicht folgt die Forderung nach Schubstarrheit ${\displaystyle G\cdot {\tilde {A}}=\infty }$.)

Anwendung

→ Hauptartikel: Balkentheorie

In d​er schubstarren Balkentheorie 1. Ordnung g​ibt es u​nter den Bernoullischen Annahmen folgende Differentialgleichungen für d​ie Queranteile:

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}=-q(x)}$[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} M(x)}{\mathrm {d} x}}=V(x)+m(x)}$[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}=-\left[{\frac {M(x)}{E\cdot I(x)}}+\kappa ^{e}(x)\right]}$[5]

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} w(x)}{\mathrm {d} x}}=\varphi (x)}$

mit

• der Laufkoordinate x entlang der Balkenachse
• dem Elastizitätsmodul E
• dem Flächenträgheitsmoment I(x)
• V(x) der Querkraft
• q(x) der Gleichlast (Querbelastung pro Längeneinheit[5])
• M(x) dem Biegemoment

• m(x) dem Streckenmoment (Biegebelastung pro Längeneinheit[5])
• φ(x) der Verdrehung
• κ^e(x) der eingeprägten Krümmung
• w(x) der Durchbiegung.

Einzelnachweise

1. Script, Kapitel 3.2 Grundgleichungen der geraden Biegung, Lehrstuhl für Baustatik, Universität Siegen. In: Bau.Uni-Siegen.de. Abgerufen im Juni 2021
2. Bernoullische Hypothese, Beuth Verlag GmbH. In: Baulexikon.Beuth.de. Abgerufen im Juni 2021
3. Baustatik 1 - Normalenhypothese von Bernoulli. examio GmbH. In: Ingenieurkurse.de. Abgerufen im Juni 2021
4. Christian Spura: Herleitung der Euler-Bernoulli-Balkentheorie. In: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. essentials. Seiten 17–18. 23. Februar 2019. DOI https://doi.org/10.1007/978-3-658-25216-8_3, Herausgeber Springer Vieweg, Wiesbaden. Print ISBN 978-3-658-25215-1, Online ISBN 978-3-658-25216-8. In: Link.Springer.com
5. Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO LVA-Nr 202.065. Hrsg.: TU Verlag. SS2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Lineare Stabtheorie ebener Stabtragwerke (520 Seiten, Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien [abgerufen am 8. September 2016]). Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.