Bartlett-Test

Als Bartlett-Test (auch: Bartletts Test) werden z​wei verschiedene statistische Tests bezeichnet:

• der Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen in ${\displaystyle k}$ Stichproben und
• der Bartlett-Test auf Sphärizität zur Durchführung einer Faktorenanalyse.

Beide Tests beruhen a​uf einem Likelihood-Quotienten-Test u​nd setzen e​ine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen

Dieser Test prüft, ob ${\displaystyle k}$ Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die Varianzanalyse, setzen voraus, dass die Varianzen der ${\displaystyle k}$ Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett-Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt.[1] Dieser Test wird auch Bartletts M-Test oder Neyman-Pearson-Bartlett-Test genannt.[2]

Voraussetzung

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung für jede der ${\displaystyle k}$ Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte ${\displaystyle \mu _{i}}$ und die Varianzen ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ unbekannt sind, ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$. Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Hypothesen

Der Bartlett-Test testet d​ie Nullhypothese, d​ass alle Gruppenvarianzen gleich sind, g​egen die Alternativhypothese, d​ass mindestens z​wei Gruppenvarianzen ungleich sind:

${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\dots =\sigma _{k}^{2}}$ gegen ${\displaystyle H_{1}:\exists i,j\quad {\text{mit}}\quad \sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}}$

Teststatistik

Wenn die ${\displaystyle k}$ Gruppen die Stichprobenumfänge ${\displaystyle n_{i}}$, die Stichprobenmittel ${\displaystyle {\bar {X}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}X_{ij}}$ und die Stichprobenvarianzen ${\displaystyle S_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}(X_{ij}-{\bar {X}}_{i})^{2}}$ für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ haben, dann wird die Teststatistik definiert als

${\displaystyle X^{2}={\frac {(N-k)\ln(S_{p}^{2})-\sum \limits _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\ln(S_{i}^{2})}{1+{\frac {1}{3(k-1)}}\left(\left[\sum \limits _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}-1}}\right]-{\frac {1}{N-k}}\right)}}}$

mit ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ und ${\displaystyle S_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)S_{i}^{2}}$.

Testverteilung

Die Teststatistik ${\displaystyle X^{2}}$ ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit ${\displaystyle k-1}$ Freiheitsgraden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer als ${\displaystyle \chi _{k-1,1-\alpha }^{2}}$ ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \chi _{k-1,1-\alpha }^{2}}$ das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle k-1}$ Freiheitsgraden. Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer ${\displaystyle 100\alpha }$-Prozentpunkt (engl. upper ${\displaystyle 100\alpha }$ percentage point) der Verteilung bezeichnet und dann auch als ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$ notiert.

Der Bartlett-Test i​st eine Modifikation e​ines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Bartlett-Test auf Sphärizität

Er prüft i​m Rahmen d​er Faktorenanalyse, o​b die Korrelationsmatrix d​er beobachteten Variablen i​n der Grundgesamtheit gleich d​er Einheitsmatrix ist. Kann d​iese Nullhypothese n​icht abgelehnt werden, sollte d​ie Faktorenanalyse n​icht durchgeführt werden.

Voraussetzung

Der Test s​etzt eine multivariate Normalverteilung d​er Daten voraus u​nd reagiert sensitiv a​uf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Hypothesen

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix ${\displaystyle R}$ gleich der Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$ ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

${\displaystyle H_{0}:R=E\,}$ gegen ${\displaystyle H_{1}:R\neq E}$

Teststatistik

Wenn ${\displaystyle p}$ die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix ${\displaystyle R}$ berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

${\displaystyle X^{2}=-\left(n-1-{\frac {2p+5}{6}}\right)\log(|R|)}$

wobei ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Beobachtungen und ${\displaystyle |R|}$ die Determinante von ${\displaystyle R}$ ist.[3]

Die Teststatistik ${\displaystyle X^{2}}$ ist approximativ ${\displaystyle \chi _{p(p-1)/2}^{2}}$-verteilt mit ${\displaystyle p(p-1)/2}$ Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als ${\displaystyle \chi _{p(p-1)/2,\alpha }^{2}}$.

Einzelnachweise

1. Maurice Bartlett: Properties of sufficiency and statistical tests. In: Proceedings of the Royal Statistical Society Series A. Band 160, 1937, S. 268–282, doi:10.1098/rspa.1937.0109, JSTOR:96803.
2. R.E. Glaser: Bartlett's test for homogeneity of variances. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 3211–3213.
3. SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.

Weblinks

• NIST page on Bartlett's test